数学与艺术的奇妙结合：杜瑞的“永远曲线”与对数螺旋线的奥秘

德国画家杜瑞，即阿尔布雷特·丢勒（Albrecht Dürer），是德国中世纪末期、文艺复兴时期的著名油画家、版画家、雕塑家及艺术理论家。他于1471年5月21日出生，1528年4月6日去世。丢勒以其高质量的木刻版画在20多岁时就已经在欧洲声名鹊起，被认为是北方文艺复兴中最好的艺术家之一。他的作品包括祭坛、宗教作品、人物画、自画像以及铜版画等。他还有许多理论贡献，包括数学定理、透视及头身比例等。

欧洲的文艺复兴时期天才辈出。他们并非只专一技之长，而是多才多艺的。特别是有像列奥纳多·达·芬奇这样的人，不但是画家、科学家、建筑家，而且又是土木工程师。同时代的德国画家杜瑞也是这样的天才之一。

他从透视图和远近法开始，进行科学的一个分支研究，是一位卓越的几何学家。他还不仅仅研究了直线和圆。在他研究的螺旋线中，他给起了“永远曲线”这样的名字。这就是今天称为 “对数螺旋线”的一种螺旋线。

如果有人按一定的坡度登一座圆锥形的山，这时登山道就变成如下图所示的螺旋线状。可从飞机上俯视这条登山道，看看它变成何种曲线？

首先，从山顶上作出的放射线总是 一定角度相交，这是已知的。

按这种方式作出的螺旋线就是杜瑞所说的“永远曲线”现在叫做对数螺旋线。

这种对数螺旋线在自然界多有所见。例如，螺的贝壳上的线况及在已结籽的向日葵上也可看到。

可以认为这条曲线具有无限延长的量，也许这就是杜瑞把它叫做永远曲线的道 理吧。确实，不但在螺这样小的东西中，在直径10万光年这样大的星云中也呈 现出这种曲线形状。

莱布尼茨的学生，即对微积分作出了伟大贡献的雅各布·伯努利，非常喜欢这种 对数螺旋线。临死前曾留下遗言，要在他自己的墓碑上刻上对数螺旋线和“Eadem resurgo”这句话，表明了他“不论有多大变化，我按原样复活”的本意。

这可能是因为对数螺旋线不论按原样放大或缩小，都能和原曲线重合的道理吧。

把这种螺旋线进行相似地放大，就是让其按一定的角度旋转，故能与原图形重合。

可是据说石匠因为不懂数学，没能实现伯努利特意留下的遗言。石匠刻上去的不是对数螺旋线而是阿基米德螺旋线。阿基米德螺旋线虽然也叫螺旋线，但实际上与对数螺旋线是不同的。例如，由定速旋转的唱片中心令唱针按定速退出，则针脚所画出的曲线就是阿基米德螺旋线。

而这种“永远曲线”则是由于转动角 θ 仅增加一定的大小，而离原点的距离 r 则按一定倍率增长。

因此，r 与 θ 的关系（见表11-5）可以写成下式：

上文转自图灵新知，节选自《数学与生活》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：[日] 远山启

译者：逸宁

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