三维不等式柯西定理应用举例

三维不等式柯西定理应用举例

三维不等式柯西定理：

(s₁²+s₂²+s₃²)(t₁²+t₂²+t₃²)≥(s₁t₁+s₂t₂+s₃t₃)²。

定理证明：

证明：

定义函数f(x)为:

f(x)=(s₁+t₁x)²+(s₂+t₂x)²,

将f(x)转化为二元函数的标准形式y=ax²+bx+c得

f(x)=(t₁²+t₂²)x²+2(s₁t₁+s₂t₂)x+(s₁²+s₂²)

因为f(x)≥0，所以它只有一个解或无解，即

Δ=4(s₁t₁+s₂t₂)²−4(t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≤0

所以: (t₁²+t₂²)(s₁²+s₂²)≥(s₁t₁+s₂t₂)².

令函数f(x)=0，则每个平方项都必须为0，即

s₁+t₁x=0⇒x=−s₁/t₁,

s₂+t₂x=0⇒x=−s₂/t₂;

则要使函数有零点，即Δ=0,则必须有：

s₁/t₁=s₂/t₂,证毕。

※.若正数a,b,c,x,y,z满足a²+b²+c²=298,x²+y²+z²=113,求ax+by+cz的最小值。

解：直接使用上述柯西三维不等式有：

(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)≥(ax+by+cz)²,

代入数值即可得：

298*113≥(ax+by+cz)²,即：

(ax+by+cz)²≤33674,

由于所有变量均为正数，则：

ax+by+cz≤√33674，

所以ax+by+cz的最小值为：√33674.

※.若正数x,y,z满足x²+y²+z²=299,求x+y+z的最小值。

解：使用柯西三维不等式有：

(x²+y²+z²) (a²+b²+c²)≥(x+y+z)², 即：

(x²+y²+z²) (1²+1²+1²)≥(x+y+z)²，则：

299*3≥(x+y+z)²,进一步有：

(x+y+z)²≤897，

所以正数x+y+z的最小值=√897。

※.若a+b+c=152,求256a²+36b²+36c²的最小值。

解：使用上述不等式，出现和的平方，即已知条件转换为不等式右边和的平方，则所求代数式需要变形成两个三项式平方和的乘积。

256a²+36b²+36c²=(16a)²+(6b)²+(6c)²

进一步变形为：

[(16a)²+(6b)²+(6c)²][(1/16)²+(1/6)²+(1/6)²]，

≥[(16a/16)+(6b /6)+(6c/6)]²，

=(a+b+c)²=152²，即：

(256a²+36b²+36c²)*(137*12²/576²)≥152²，

所以：256a²+36b²+36c²≥(1/137)*7296²。

※.若24x+3y+14z=121,求x²+y²+z²的最小值。

解：运用三维柯西不等式，有：

(x²+y²+z²)(24²+3²+14²)≥(24x+3y+14z)²,即：

(x²+y²+z²)(24²+3²+14²)≥121²,

(x²+y²+z²)*781≥121²,

x²+y²+z²≥121²/(781),

即：x²+y²+z²≥1331/71,

所以x²+y²+z²的最小值=1331/71。