函数y=83/[(x²+31)√(x²-9)]的图像示意图
※.函数的定义域
∵x²+31≥31>0,
x²-9>0。
∴x>3或者x<-3,
即函数的定义域为:(-∞,-3)∪(3,+∞)。
※.函数的单调性
∵y=83*[(x²+31)√(x²-9)]⁻¹
∴dy/dx
=-83*[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2x√(x²-9)+x(x²+31)/√(x²-9)]
=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2√(x²-9)+(x²+31)/√(x²-9)]
=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*[2(x²-9)+(x²+31)]/√(x²-9)
=-83*x[(x²+31)√(x²-9)]⁻²*(3x²+13)/√(x²-9)
∵x²>9,∴3x²>3*9,则:
3x²+13>3*9+13>40>0,
所以函数的单调性与x的符号有直接关系,即:
(1).当x∈(3,+∞)时,dy/dx<0,函数y在定义域上为减函数;
(2).当x∈(-∞,-3)时,dy/dx>0,函数y在定义域上为增函数。
※.函数的奇偶性
∵f(x)=83/[(x²+31)√(x²-9)]
∴f(-x)=83/{[(-x)²+31]√[(-x)²-9]}
=83/[(x²+31)√(x²-9)]=f(x),
即函数为偶函数,在定义域上关于y轴对称。
※.函数的极限
lim(x→-∞)83/[(x²+31)√(x²-9)]=0,
lim(x→3)83/[(x²+31)√(x²-9)]=+∞,
lim(x→-3)83/[(x²+31)√(x²-9)]=+∞,
lim(x→+∞)83/[(x²+31)√(x²-9)]=0。
※.函数的五点图
※.函数的图像
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