从新定义“轴旋点”中深入理解图形变换

从新定义“轴旋点”中深入理解图形变换

2022版义务教育新课标对图形的变化内容要求如下：

学业要求如下：

轴对称内容是在人教版数学八年级上册第13章的，前面是全等三角形，而旋转内容在九年级上册第23章，后面是圆；这个安排很有意思，轴对称也好，旋转也罢，一直研究的是全等形之间的特殊位置关系，学完旋转之后，出现了“全新”的图形——圆，和直线型完全不同的图形性质，让整个几何学习上了一个新台阶，试题更精彩了，当然难度也相应增加了。

新定义“轴旋点”是利用了轴对称和旋转两个基本概念，用点、线基本元素定义了一种新的图形关联，理解这种关联，并运用新定义去解决新的问题，是命题的主要考察方式。

题目

解析：

01

(1)不妨在草稿纸上画一画，理解点A、点A'、点B、点C、直线l之间的关联，如下图：

根据“轴旋点”定义，线段A'C与直线l是否有交点，与点A、点B位置有关系，我们需要明白它；

点B在直线l上，于是它绕点A'旋转后的点C，也在某条直线上，我们可以找出来，如下图：

图中△A‘CE≌△BA'F，足以说明点C在直线CE上，并且CE⊥l，请注意这也是我们后面研究问题的重要依据，从图中也能看到，线段A'C并不一定会与直线l有交点，而点C所在直线恰好可以帮助我们判断何时有交点，这些在一开始读新定义的时候，需要理解；

基于以上认知，我们上坐标系！

结果是显而易见的，C2和C4；

02

(2)现在点B坐标已知，我们仍然先作图，如下：

我们理解新定义过程中的那对全等三角形依旧存在，于是判断点C在直线CG上，按本小题要求，点A和点C均在直线y=-x-4上，则点C位置是确定的，相应的点A位置也是确定的，于是可求，如下图：

我们首先还是证明这里的全等三角形，这比较容易，可得A'G=BH，同时由于点A'与点A关于y轴对称，那么点A'所在直线为y=x-4；图中的△A'EH为等腰直角三角形，A'H=EH，则GH=A'G-A'H=BH-EH=BE，而BE=8，故GH=8，说明直线CG是一条定直线x=8；

接下来的任务就比较轻松了，先求出点C坐标(8,-12)，再得到A'G=12=BH，则点H(0,-8)，所以点A(4,-8)；

03

(3)点A在正方形M上，即正方形M内部和边界上的任意点都有可能是点A，点A关于直线y=-x+1的对称点为A'，因此我们将整个正方形M关于直线y=-x+1进行轴对称变换，如下图：

在上图中，正方形M'就是点A'可能的位置，而点B在直线y=-x+1上，依然由新定义“轴旋点”的理解，以正方形M'上某点为旋转中心，将点B顺时针旋转90°，我们分别取正方形M'的四个顶点作为旋转中心，分别旋转点B后，得到四个点B'、B1'、B2'、B3'，则正方形M'中其余点为旋转中心，旋转后的点B可能位置便是图中直线B'B3'和直线B1'B2'间的部分；

这几条直线会不会动？我们来研究一下，如下图：

点M(0,t)关于直线y=-x+1的对称点M'(1-t,1)，不妨设B(s,1-s)，则BK=M'L=s-1+t，LC=KM'=-s，可表示出点C坐标(1-t-s,2-t-s)，令1-t-s=x，2-t-s=y，则y=x+1，故点C在y=x+1上；

同理，可得点B'、B3'在直线y=x+3上，B1'、B2'在直线y=x-1上；

随着正方形M向下移动，只要与两直线间的区域有重合部分，即存在点C是“轴旋点”，我们需要仔细作图，并观察重合过程中的关键时刻，如下图：

当正方形M的顶点G在直线y=x+3上时，顶点G(1,t-1)代入求出t=5；当正方形M的顶点Ed直线y=x-1上时，顶点E(-1,t+1)代入求出t=-3；

所以-3≤t≤5.

解题思考

这道题设计很精巧，简单的轴对称和旋转，解题的思考量很大，其间需要证明的步骤如果书写出来也不少，因此采用了直接填空的形式，减轻学生答题时的重复动作，也说明只要考察学生思维到位了，过程并不重要，或者说不需要靠书写过程来表达思维。

在解题过程中多次使用了基本的全等模型“一线三直角”，当然全等不是重点，重点是全等之后，利用它来判断定直线、定长等。在第3小题中，由于旋转中心不确定，点B也不确定，要作出图形难度颇高。需要深入理解对于“轴旋点”定义中，点C的轨迹是一条直线，并在不同场景中，都出现了这些直线，所以能否在新的应用情境中，迅速找到这些定线，极为关键，最后正方形经过的区域，那个区域最重要，即夹在两条直线间的部分。

当前期的思维准备工作到位以后，剩下的就非常简单了，这也是考察数学思维类题型的共同特点，大量的工作在大脑中进行，偶尔需要作图，甚至想像力足够不作图也行。

不妨回到我们的课堂教学，到底要经过多少轮“螺旋上升”，我们的学生可以达到这种思维高度？在每一轮中，教师如何帮助学生获得最大高度？这都是需要深思的问题。