数学最甜蜜的CP：几何和代数的爱情故事！

代数与几何的这种关联似乎相当自然, 因此当我们认识到人们到了近代才把二者联系起来时, 不免会有些吃惊。尽管欧几里得几何可以追溯到大约 2000 年前, 当时也没有代数, 但分析几何的出现也还不到4 个世纪。它比对数、《罗密欧与朱丽叶》和波士顿市还年轻。

这门学科如同其他很多数学革新一样, 出现在 17 世纪。革新者是皮埃尔·费马和勒内·笛卡儿, 他们都是法国人, 都聪明绝顶, 都是数学发展中的重要人物。费马对坐标几何的革新比他对数论做出的举世闻名的贡献要逊色得多，另外，由于费马拖延论文的发表而降低了他的影响, 到他的成果问世时, 这一思想的新颖性已经不复存在。于是,分析几何的荣誉就落到了它的第一位发表者勒内·笛卡儿的身上。

那一年是 1637 年。笛卡儿完成了一本巨作《方法论》, 它是科学革命的哲学指南。在这本书之后附加了一个标题为《几何》的附录, 类似于事后的思考。笛卡儿是这样开始的：“几何中的任何问题都能够简单地以某种方式表述, 比如从特定直线的长度就足以知道它的构造……我毫不犹豫地把这些算术表述引入几何中。”因此, 此前只有理想几何图形的空荡荡的欧几里得平面, 现在充满了数值, 即笛卡儿的“算术表述”, 用以衡量它们的长度, 标示它们的位置。

遗憾的是, 大部分读者发现《几何》不容易理解。甚至连艾萨克·牛顿都承认最初他没有理解笛卡儿的方法。几年后, 一位传记作家写道, 牛顿把笛卡儿的《几何》拿在手里, 并被告知它非常难。他看了其中十几页, 停了下来, 再看, 比上一次看得多了一些, 又停了下来, 再一次回到起点, 坚持往下看, 直到完全掌握为止。

如果连牛顿读起来都感到困难, 可以想象天分不及他的学生们的状况！笛卡儿的一个特点就是喜欢警告他的读者：“我不会停下来更详细地解释, 因为那样会剥夺你自己掌握它的愉悦感……在这里, 我没有发现熟悉普通几何和代数的人都不能理解的难点。”

笛卡儿在向梅森介绍这本书的时候, 非常直率。他写道：“我已经删掉很多使其更清楚的东西, 但我是有意这样做的, 我不会说得更明白。”我奉劝所有立志编写教材的人, 不要学习这种在数学描述中有意避开清晰阐释的隐晦哲学。

幸运的是, 还是有人能够用更容易理解的术语重新展示这些思想。阿姆斯特丹的弗兰斯·凡·斯霍滕（Frans van Schooten, 1615—1660）重新编辑的《几何》版本在笛卡儿原著问世的 12 年后登场, 附加了大量有帮助的注释, 从而使这门学科更容易被更广大的读者理解。极其重要的是, 在艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨各自独立地追击微积分的时候, 他们都从斯霍滕的版本中得到了非常大的帮助。

他们研究的这门学科与其现代版本不同。当时, 数轴不是总被画成互相垂直的; 有时候, 根本不画 y 轴；因为厌恶负数, 人们经常把工作限定在平面的右上区域, 即所谓的第一象限, 其中 x 坐标和 y 坐标都是正的。一切需要点时间才能厘清。

牛顿本人也对此做出了贡献, 但是他对这门学科的影响往往掩盖在他其他成就的光环之下。他的论文《三次曲线枚举》写于 1676 年并于 1704 年出版（这显然是牛顿式的拖延）, 现在人们把这篇论文描绘成“分析几何的真正诞生”之作。在这篇论文中, 牛顿引入、分析且极其精确地绘制了 72 种不同的三次方程。显然, 他那极大的耐力超越了他对分析几何的似火的热情。

由于笛卡儿和费马的革新以及牛顿随后的贡献, 这门学科被建立起来并被标准化。今天我们轻易就能够浓缩这一成就, 用显然而简单的步骤把它写出来。但是历史证明, 事后看似显然的事实, 当年也许距离一目了然相差很远。朱丽娅·罗宾森是这样描述一个麻烦的数学问题的：

当我非常接近某个问题时, 曾被告知有人认为我目光短浅, 因此凭我自己是不可能看出答案的。然而, 也没有其他人能够看明白它。有很多东西一直就躺在沙滩上, 但我们看不到, 直到有人拾起它。然后, 我们就都看到了。

这段话完美地描述了 17 世纪几何与代数的结合历程。

从这开始, 分析几何有两个重要但相互对立的趋势：其一, 让代数为几何服务; 其二, 让几何为代数服务。综合看来, 这产生了一种数学上的共生关系, 问题的每一个侧面都能从其他相关侧面中受益。

在很大程度上, 笛卡儿是前一种趋势的倡导者。他常常从几何问题开始, 运用代数技巧去求解。对他来说, 他的更加现代的符号代数思想也许能够解决欧几里得几何这一古老学科的问题。

另一种趋势更具费马特色, 并最终证明更重要。它是从一个代数表达式开始, 然后利用这个表达式在平面上生成一个几何图形, 如我们利用上面的 y = x² + 1 所做的几何图形, 又如牛顿在绘制他的 72 个三次方程时所做的那样。费马的脑子里有一种方法, 他写道：“每当我们找到两个未知量的等式, 就有一条轨迹, 它描绘的不外乎是一条直线或者一条曲线。”费马的预见使得数学家们可以通过绘制更复杂的方程的点而生成新曲线, 卡尔·博耶把它称为“数学史中最有意义的陈述之一”。

在分析几何出现之前, 曲线的来源被局限于那些“自然的”出现。数学家们熟悉圆、椭圆和螺旋线,因为它们都出自著名的几何问题。但是如图 XY-2 中的方程

的图像完全无法想象。通过虚构奇怪的方程, 数学家生成了之前从来没有看到过的穿越 xy 平面的弯弯曲曲的曲线。在获得大量的曲线细节之后, 他们对曲线有了更深入的理解。事实证明, 这对微积分的发现至关重要。

上文转自图灵新知，节选自《数学那些事》，【遇见数学】已获转发许可。

作者：[美] 威廉·邓纳姆（William Dunham）

译者：冯速

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