清华团队合作在几何表示论与几何朗兰兹领域取得新突破

IT之家 9 月 15 日消息，清华大学丘成桐数学科学中心公众号昨日（9 月 14 日）发布博文，报道称该中心助理教授李鹏辉携手国际团队，在几何表示论与几何朗兰兹领域取得新突破。

项目背景

在 1950 年的国际数学家大会上，克劳德・谢瓦莱（Claude Chevalley）提出了著名的谢瓦莱限制定理，即半单李代数上的共轭不变函数同构于嘉当子代数上的外尔群不变函数。

该定理于 1965 年由罗伯特・施坦贝格 (Robert Steinberg) 完整证明，并推广至半单代数群。

此后，数学家们在谢瓦莱限制定理的高维推广上取得了许多进展：

• 颜维谅（Gan Wee Liang）、维克多・金茨堡（Victor Ginzburg）、马蒂亚斯・多莫科什（Matyas Domokos）、弗朗西斯科・瓦卡里诺（Francesco Vaccarino）解决了一般线性李代数的情形；

• 陈朝銑（Chen Tsao-Hsien）-吴宝珠（Ngo Bao Chau）解决了辛李代数的情形；

• 宋雷-夏晓朋-许金兴解决了正交李代数的情形。

清华大学丘成桐数学科学中心助理教授李鹏辉与美国加州大学伯克利分校教授戴维・纳德勒（David Nadler）以及麻省理工学院教授恽之玮合作，于 9 月《数学年刊》（Annals of Mathematics）上，发表《通过朗兰兹对偶研究交换堆上的函数》（Functions on the commuting stack via Langlands duality）。

IT之家援引公开信息，李鹏辉，2019 年入职清华大学，现任丘成桐数学科学中心助理教授。他本科毕业于香港科技大学数学系，2016 年获美国加州大学伯克利分校博士学位，师从纳德勒（David Nadler）教授。

2016 年至 2019 年在奥地利科学技术研究院从事博士后研究。李鹏辉的研究涉及几何表示论、几何朗兰兹、微局部几何、范畴化纽结不变量等领域，多篇研究成果发表在 Adv. Math, Represent. Theory, Proc. Amer. Math. Soc. 等期刊上。

进展介绍

李鹏辉与合作者一致性地证明了所有约化李代数和约化代数群的谢瓦莱定理的二维推广。该问题解决的关键在于如何计算交换堆上的全局函数。

团队创造性地运用朗兰兹对偶将其转换成关于仿射赫克范畴余中心里的惠特克层的计算。

由此，团队定义了该余中心的一个半正交分解，并使用特征层理论计算了每个分次块，最终得到了描述惠特克层的自同态代数，即交换堆上全局函数的公式。

SL2 时的何-聂函数梯度流

在证明过程中，团队运用范畴化收缩原理、抛物特征层理论、何-聂函数的梯度流、广义斯普林格理论等多种理论，这些方法对于任意型的约化李代数、代数群均成立。

谢瓦莱定理二维推广的证明解决了数十年来关于交换堆的即约性猜想，对理解低维流形的朗兰兹对偶有着重要意义。