中国先秦古人首创了“开平方”计算——《九章算术·少广卷》例题

中国社会科学院学部委员冯时先生说：考古成果证明“中华文明的原创成就灿烂辉煌，作为古典科学的天文学、数学、力学、地学、农学都已有了万年的历史”。

诚哉斯言。

《九章算术》记载的先秦古人的“开平方”计算，便是领先世界的首创。

看实例。

《九章》卷第四《少广》。原文——

“【一二】今有积五万五千二百二十五步。问为方几何？

答曰：二百三十五步。

【一三】又有积二万五千二百八十一步。问为方几何？

答曰：一百五十九步。

【一四】又有积七万一千八百二十四步。问为方几何？

答曰：二百六十八步。

【一五】又有积五十六万四千七百五十二步（又）四分步之一。问为方几何？

答曰：七百五十一步半。

【一六】又有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步。问为方几何？

答曰：六万三千二十五步。”

译成白话——

【一二】今有正方形面积55225平方步。问其边长是多少？

答：边长为235步。

【一三】又有正方形面积25281平方步。问其边长是多少？

答：边长为159步。

【一四】又有正方形面积71824平方步。问其边长是多少？

答：边长为268步。

【一五】又有正方形面积56752又1/4平方步。问其边长是多少？

答：边长为751又1/2步。

【一六】又有正方形面积3972150625平方步。问其边长是多少？

答：边长为63025步。

“步”，是先秦丈量土地长、宽的计量单位；240平方步为一亩。

《少广》原文——

“开方术曰：置积为实。借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除。除已，倍法为定法。其复除。折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除。以所得副从定法。复除折下如前。若开之不尽者为不可开，当以面命之。若实有分者，通分内子为定实。乃开之，讫，开其母报除。若母不可开者，又以母乘定实，乃开之，讫，令如母而一。”

译成白话——

开平方算法：以面积数作为被除数，借来一枚算筹放在下行，将其由末位向前跨越一“等”。试算初商，以所得之数与“借来算筹所表之数”相乘一次作为除数，而相减。相减毕，以除数的2倍作为“定法”。再除以求次商，除时以下步骤折算除数。再借一枚算筹如前移动定位，用试算所得“次商”和“借来算筹所表之数”相乘一次，所得之数另置，称为“副”用其加“定法”，而相减。减毕用所得之“副”加入“定法”之内。若有“开”不尽的数，用“平方根”取其近似值的方法处理。若被开方数带有分数，用整部与分母相乘再加“分子”作“定实”，用其开方，算毕，又对分母开方，所得相除。若分母不可开放，又用分母去乘“定实”，这再开方，算毕，令其用分母相除。

“算筹”，古时计数工具，可代表个位、十位、百位……任何数。见图一。

计算时，亦可用“算筹”组成矩阵行列并进行演算。

“步之”，即为移动“算筹”的步骤。

“实”，为被开方数。

“一等”，数位的一位。“超一等”，是由“个位”直接移至“百位”，如同现代笔算开方的“分节”。

“议所得”，议得初商。

“一乘”，乘一次。

“而以除”，相减。

以【一二】题为例，开方演算具体步骤如图二、图三、图四、图五。

电视剧《三体》中，秦始皇号令三千万士卒计算，恰如现代的高等级巨型计算机，便是使用“算筹”。

冯时先生考证，建筑方丘和圜丘的红山人，已懂得使用开方的计算方法，距今6000年。

上面所举例题，现代开平方列式，如图六。