先秦古人如何解“线性方程”——《九章算术》给出了方法和步骤

现在的数学中，有一重要的门类叫“方程”。

这个名字，源自中国先秦——“方”为并列、对等；“程”，表示以“算筹”列成竖式的计算过程。

英语中现在通用的“equation”一词，大概率由9世纪中亚一位数学家提出的概念辗转生成。

《九章算术》由秦朝旧臣张苍，在西汉初年搜集先秦“算简”整理而成，桑弘羊等学者也为此书贡献不小——书名，据说依据的是战国“遗卷”。

无论如何，在经历了秦皇焚书的浩劫之后，这些人的孜孜不倦功在千秋，使两千多年后现在的我们，在传承宝贵文化的同时，亦可观止感叹先民的厚积睿智。

《九章算术》卷第八为“方程”，全部从农耕的现实生活出发，通过“解题”的方式，总结概括了计算“线性方程组的解法”。

以卷第八【一】为例——

原文——“【一】今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。

问上、中、下禾实一秉各几何？”

上禾、中禾、下禾，指“禾黍（粮食总称）”之“品等”。

秉，束、捆。

译成白话——现有上等禾黍3束、中等禾黍2束、下等禾黍1束，打出的粮食共有39斗；有上等禾黍2束、中等禾黍3束、下等禾黍1束，打出的粮食共有34斗；有上等禾黍1束、中等禾黍2束、下等禾黍3束，打出的粮食共有26斗。问：1束上等禾黍、1束中等禾黍、1束下等禾黍各能打出多少斗粮食？

原文——“答曰：上禾一秉，九斗（又）四分斗之一；中禾一秉，四斗（又）四分斗之一；下禾一秉，二斗（又）四分斗之三。

方程术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行，而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”

以上，是《九章算术》列出的典型“三元一次方程组”采用 “遍乘直除”消元以解此题。

现今的解法，见下图二。

《九章》所云“方程术”解题如下——

一，“置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方”。见下图三。

二，“以右行上禾遍乘中行”。即以右行最上之3，遍乘中行各项。见下图四。

三，“而以直除”。由中行连续减去右行各对应项的若干倍数，直到中行头位数为0。直除，为连续相减。见下图五。

四，“又乘其次，亦以直除”。中行头位消除后，以右行上禾3遍乘左行各项，连续减去右行各对应项，消去右行头位。“又乘其次”。见下图六。

“亦以直除”。见下图七。

五，“然以中行中禾不尽者遍乘左行而以直除。左方下禾不尽者，上为法，下为实。实即下禾之实。”消去中行、左行头位后，再以中行中禾数遍乘左行而以直除，消除左行中位，所得“99” 即“36秉”之“下禾之实”。以中行中禾数5，遍乘左行各数。见下图八、下图九。

六，“求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。”

法，为36；中行下实，为24；中行秉数，为5，中禾之实为：（36x24-99）/5=253。

七，“求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实”。

“求上禾亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。”——39x36-2x153-99=999.

“余如上禾秉数而一，即上禾之实”——余数999，右行上禾秉数3，按“术”999/3=333，即上禾之实。

八，“实皆如法，各得一斗”。

上禾、中禾、下禾一束之实各为：99、153、333；皆以“法”36除之——99/36斗=2又3/4斗；153/36斗=4又1/4斗；333/36斗=9又1/4斗。

怎能不佩服两千多年前的上古先民！