为什么人工智能可以给数学带来革命性变化

编辑 | 白菜叶

「提出一个猜想——一个被怀疑为真的命题，但需要明确的证明——对数学家来说就像是神圣灵感的时刻。数学猜想不仅仅是有根据的猜测。制定它们需要天才、直觉和经验的结合。即使是数学家也很难解释自己的发现过程。然而，与直觉相反，我认为这是机器智能最初最具变革性的领域。」英国伦敦数学科学研究所所长 Thomas Fink 说。

2017 年，伦敦数学科学研究所的研究人员开始将机器学习应用于数学数据，作为一种爱好。在 COVID-19 大流行期间，他们发现简单的人工智能（AI）分类器可以预测椭圆曲线的排名——衡量其复杂性的指标。

论文链接：https://arxiv.org/abs/2204.10140

椭圆曲线是数论的基础，了解其基础统计数据是解决七大千年难题之一的关键一步，这七大难题由罗德岛州普罗维登斯的克莱数学研究所选出，每项奖金为 100 万美元。很少有人期待人工智能会在这个高风险的领域发挥作用。

人工智能在其他领域取得了进展。几年前，一个名为拉马努金机（Ramanujan Machine）的计算机程序产生了基本常数的新公式，例如 π 和 e。它通过详尽地搜索连分数族来做到这一点——分母是一个数字加一个分数的分数，其分母也是一个数字加一个分数的分数，依此类推。其中一些猜想已经被证明，而另一些猜想仍然悬而未决。

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-03229-4

另一个例子与结理论有关，这是拓扑学的一个分支，其中一根假设的绳子在两端粘在一起之前缠结在一起。Google DeepMind 的研究人员利用许多不同结的数据训练了一个神经网络，并发现了它们的代数和几何结构之间的意想不到的关系。

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41586-021-04086-x

人工智能如何在人类创造力被认为至关重要的数学领域产生影响？

首先，数学中不存在巧合。在现实世界的实验中，假阴性和假阳性比比皆是。但在数学中，一个反例就会让猜想彻底推翻。例如，波利亚猜想指出，大多数低于任何给定整数的整数都具有奇数个质因数。但到了1960年，人们发现这个猜想对于数字 906,180,359，这个猜想并不成立。波利亚猜想一下子就被证伪了。

其次，可以训练人工智能的数学数据很便宜。素数、纽结（knot）以及许多其他类型的数学对象非常丰富。整数序列在线百科全书（OEIS）包含近 375,000 个序列 — 从熟悉的斐波那契数列 (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 到强大的 Busy Beaver 数列 (0, 1, 4, 6, 13, ...)，它的增长速度比任何可计算函数都快。科学家们已经在使用机器学习工具来搜索 OEIS 数据库，以发现意想不到的关系。

OEIS：https://oeis.org/

人工智能可以帮助我们发现模式并形成猜想。但并非所有猜想都是一致的。他们还需要增进我们对数学的理解。G. H. Hardy 在他 1940 年的文章《A Mathematician’s Apology》中解释说，一个好的定理「应该是许多数学构造的组成部分，用于证明许多不同类型的定理」。

换句话说，最好的定理增加了发现新定理的可能性。帮助我们达到新的数学前沿的猜想，比那些产生较少见解的猜想更好。但区分它们需要对这个领域本身将如何发展有直觉。这种对更广泛背景的把握，将在很长一段时间内超出人工智能的能力范围——因此该技术将很难发现重要的猜想。

虽然有这些潜在问题，但是在数学界更广泛地采用人工智能工具还是有很多好处的。人工智能可以提供决定性的优势并开辟新的研究途径。

主流数学期刊也应该多发表猜想。数学中一些最重要的问题——例如费马大定理、黎曼假设、希尔伯特的 23 个问题和拉马努金的众多恒等式——以及无数不太出名的猜想塑造了该领域的发展方向。猜想为我们指明了正确的方向，从而加快了研究速度。由数据或启发式论证支持的关于猜想的期刊文章将加速发现。

2023 年，Google DeepMind 的研究人员预测会出现 220 万个新的晶体结构。但这些潜在的新材料中有多少是稳定的、可以合成的并具有实际应用还有待观察。目前，这主要是人类研究人员的任务，他们掌握了材料科学的广泛背景。

论文链接：https://www.nature.com/articles/s41586-023-06735-9

同样，要理解人工智能工具的输出，就需要数学家的想象力和直觉。因此，人工智能只会充当人类创造力的催化剂，而不是替代品。

相关内容：https://www.nature.com/articles/d41586-024-01413-w