一个被历史弄错了的公式, 它原本应归属于爱因斯坦的

本文原创作者：水木长龙

如果说一个人能够占尽“天时、地利、人和”三个条件，才算是在历史舞台上完美地演出过自己的话，那么，历史舞台赋予每个人的演出资本并不平等，就像自从爱因斯坦的相对论问世后，我们知道时间对每个人来说并不公平一样；就像随着量子物理科学的发展，我们知道“眼见并不一定是真实的”一样；就像我们知道宇称并不守恒一样；就像我们知道宇宙并非超对称一样（根据玻色弦理论，宇宙应有26维度，但在11维以上变得不再完美对称）。

一个伟大的科学家总能被后人铭记，一个为人类科学事业做出过伟大贡献的伟大科学家，必然会被家喻户晓，妇孺皆知，名播全球，绩书罄竹。爱因斯坦，我们众所周知，毋庸置疑，一定会被认为就是如此的科学家。

不得不说，他的相对论的提出，为人类打开了被封锁了不知多少世纪的“静态”呆板的宇宙时空大门，将人类带入了一个全新多彩的“动态”宇宙时空。而直至今日，爱因斯坦仍被绝大多数世人公认为是拥有人类最聪明大脑的科学家。

如此了不起的伟大科学家爱因斯坦，一定会被认为是少有的能够在历史舞台上尽情舒展的人物之一，一定是占尽了天时（应时而生，相对论横空出世），地利（世界环境格局造就时代英雄人物，曼哈顿计划与质能方程），人和（爱因斯坦的伟大成就离不开慧眼识珠的伟大“伯乐”——普朗克，不然1905年不会被称为“爱因斯坦奇迹年”——共发表了四篇具有划时代意义的论文，其中便有相对论和为量子力学奠基的光子概念）。

其实，爱因斯坦在科学史上也有被人抢占功劳而无奈的小插曲，就像历史上那些不得天时地利人和而发明专利总是被人抢先一步的无名科学家一样。

比如，我们现在耳熟能详的洛伦兹变换。大多数人认为，洛伦兹变换一定是洛伦兹的，而实际上，现在我们了解到的洛伦兹变换公式，并不属于洛伦兹的，而是爱因斯坦的，即

正变换：

x'＝(x－vt)／(1－v2／c2)?，

y'＝y，

z'＝z，

t'＝(t－vx／c2)／(1－v2／c2)?

逆变换：

x＝(x'＋vt')／(1－v2／c2)?，

y＝y'，

z＝z'，

t＝(t'＋vx'／c2)／(1－v2／c2)?

这是爱因斯坦1905年在发表的论文《论运动体的电动力学》中提出的变换。而洛伦兹在1904年所发表的论文《速度小于光速时运动系统的电磁现象》也提出过洛伦兹变换，但公式与现在我们所了解到的并不一样，也就是说，与爱因斯坦的时空变换公式是不相同的，如下：

x'＝x／(1－v2／c2)?，

y'＝y，

z'＝z，

t'＝((1－v2／c2)t－v/c2x)／(1－v2／c2)?

一目了然，爱因斯坦的洛伦兹变换公式与洛伦兹的变换公式是不一样的。为什么会不一样呢？问题便出在“以太”上。

洛伦兹的变换公式是在以太存在的情况下推出来的，而爱因斯坦的洛伦兹变换公式却是在以太不存在的情况下推导出来的。

或许会有人奇怪地问：既然是爱因斯坦推导出来的，为什么不叫爱因斯坦变换，而叫洛伦兹变换呢？

这跟爱因斯坦当时还不太出名有关，并且爱因斯坦刚刚提出相对论时，与科学史上那些刚刚提出科学新理论时，都难免被痛驳一番的科学家相比并没什么特殊例外，同样受到很多人的反对和无视。

1906年，庞加莱在一篇有关电动力学的论文中，对洛伦兹1904年提出的洛伦兹变换公式进行了修正，修正后的洛伦兹变换与爱因斯坦1905年在论文中提出的一模一样，但庞加莱并没有将其命名为“爱因斯坦变换”，而是正式命名为了“洛伦兹变换”，并一直使用到现在。

这就是如此伟大的科学家爱因斯坦，也曾有被人抢夺功劳的小插曲，看来，所谓的“公平”也只是相对而言的，这与付出的辛勤汗水多少有关，不是吗？记得有一句话：付出不一定有回报，但不付出一定没有回报。勤奋总是没错的，经常爱动脑的人，脑子也会比常人转动快一些，这是无可争辩的，让我们继续我们的宇宙探索吧。探索科学，探索宇宙，水木长龙与您继续我们的探索之旅。

很多人或许都不知道洛伦兹变换是怎么推导出来的，不妨水木就将推导过程简单写出来吧（经常看“水木长龙”文章的人或许都知道，为了大多数人都能看懂，水木文章很少出现数学公式，尽量用通俗易懂的语言去描述宇宙的奥妙，尽量做到爱因斯坦那句名言「凡事应当尽量简单化，直到不能再简单化为止」。但数学知识，无论探索宇宙，还是研究科学，都是离不开的。今天，水木就破天荒一回，给喜欢数学的朋友带来一些福利。）

（1）推导洛伦兹变换：

设S和S’为做相对运动的两惯性坐标系，S’系相对于S系以速度v沿X轴做匀速直线运动，t和t’分别是S系和S’系中的时间。示意图如下：

首先，我们可以轻而易举地得到

y’=y,

z’=z，

那么x’与x之间的变换关系又如何呢？

两坐标系是相对运动的，所以运动方向是相反的。当两坐标系从坐标原点O和O’重合开始相对运动时，在S’系中观察S系的坐标原点位移，则有

x’=-vt’，即x’+vt’=0；

而在S系中观察S’系的坐标原点位移，则有

x=vt，即x-vt=0。

现在我们用空间任一事件点P来替换参照的O和O’坐标原点，设P在S系中的坐标为（x,y,z），在S’系中的坐标为（x’,y’,z’）。那么事件P点从S’系到S系的坐标变换关系为

x=K（x’+vt’），

y=y’，

z=z’

从S系到S’系的坐标变换关系为

x’=K’（x-vt）,

y’=y，

z’=z

K和K’是一比例常数，根据相对性原理，必有

K’=K，

此处称为“洛伦兹因子”。

接下来我们需要用到光速不变原理来求出K。

设一光子在S与S’原点重合时从两惯性系的重合原点O（O’）处沿X轴正向发出，那么根据光速不变原理，在任一瞬间t(或t’)，光子到达两坐标系的位移分别为：

x=ct，

x’=ct’

将两式相乘得

xx’=c2tt’

因为光子此时就相当于P点事件，所以我们可以得到

xx’= K（x’+vt’）×K’（x-vt）=K2（xx’-x’vt+xvt’-v2tt’）

将x=ct，x’=ct’代入替换得

c2tt’= K2（c2tt’-ct’vt+ ctvt’-v2tt’）= K2tt’(c2-cv+ cv-v2)= K2tt’(c2 -v2)

所以

K=c/(c2 -v2）?=(1－（v/c）2)-?

x’=(x-vt)/(1－v2/c2)?，

x=(x'＋vt')／(1－v2/c2)?

进而可解得

t'＝(t－vx／c2)／(1－v2／c2)?

t＝(t'＋vx'／c2)／(1－v2／c2)?

即洛伦兹正变换为：

x'＝(x－vt)／(1－v2／c2)?，

y'＝y，

z'＝z，

t'＝(t－vx／c2)／(1－v2／c2)?

洛伦兹逆变换为：

x＝(x'＋vt')／(1－v2／c2)?，

y＝y'，

z＝z'，

t＝(t'＋vx'／c2)／(1－v2／c2)?

（证毕）

（2）证明x'2＋y'2＋z'2－c2t'2＝x2＋y2＋z2－c2t2

根据洛伦兹正变换，有

y'＝y，

z'＝z

所以想要推导x'2＋y'2＋z'2－c2t'2＝x2＋y2＋z2－c2t2，只要推出x'2－c2t'2＝x2－c2t2即可。

根据爱因斯坦的时空变换方程，也就是现在被我们熟悉的洛伦兹变换方程，有

x'=(x－vt)／(1－v2／c2)1/2，t'＝(t－vx／c2)／(1－v2／c2)?

=(x－vt)2／(1－v2／c2)－c2(t－vx／c2)2 ／(1－v2／c2)

=c2(x－vt)2／(c2－v2)－(tc2－vx)2／(c2－v2)

=(c2(x2－2vtx＋v2t2)－(t2c?－2tc2vx＋v2x2))／(c2－ v2)

=(c2x2－2c2vtx＋c2v2t2－t2c?＋2tc2vx－v2x2)／(c2－ v2)

=(c2x2＋c2v2t2－t2c?－v2x2)／(c2－ v2)

=((c2－ v2)x2＋(v2－c2)c2t2)／(c2－ v2)

=((c2－ v2)x2－(c2－ v2)c2t2)／(c2－ v2)

=x2－c2t2

∵ y'＝y，z'＝z

∴ x'2＋y'2＋z'2－c2t'2＝x2＋y2＋z2－c2t2

（证毕）

（3）推导洛伦兹速度变换公式

公式推导前，不如先思考一个问题：

假如有一艘很长的巨型宇宙飞船正以光速的85%在太空中飞行，即v?=0.85c，参照系为某一颗恒星。巨型宇宙飞船上有一小型飞船正以光速的50%在巨型飞船内部飞行，即v2=0.5c。问：小型飞船相对于恒星的运动速度是多少呢?

如果根据我们一般性思维，按照经典的速度叠加公式计算的话，会以为v=v?+v2=1.35c，已经超越光速。但自从爱因斯坦的相对论问世以来，这样的逻辑思维就要被推翻了，因为相对论告诉我们光速是宇宙中最快速度，任何物体都不能超越光速。那么，小型飞船相对于恒星的实际速度究竟是多少呢？

这里我们不能再用伽利略变换的那种简单速度叠加公式了，而是要用到洛伦兹的速度变换公式v＝(v?＋v?)/(1+v?v?/c2)。将两飞船速度值代入后我们可以计算出小型飞船相对于恒星的飞速度是0.947c，并没有超越光速。

那么，洛伦兹速度变换公式又是怎么推导出来的呢？这里我们需要用到一些微积分学的基础知识。

我们仍以（1）中的两坐标系S和S’来推导。

根据求导定义可知

v?＝dx/dt＝(dx/dt')/(dt/dt')

而洛伦兹逆变换公式为

x＝(x'＋vt')/(1-v2/c2)?，

t＝(t'＋vx'/c2)/(1-v2/c2)?

所以

dx/dt'＝(v?'＋v)/(1-v2/c2)?，

dt/dt'＝(1+vv?'/c2)/(1-v2/c2)?

所以

v?＝dx/dt＝(dx/dt')/(dt/dt')＝(v?'＋v)/(1+vv?'/c2)

以恒星为S系，巨型宇宙飞船为S'系 ，小型飞船为事件P。v是S系与S'系的相对速度，也即公式中巨型宇宙飞船的速度v?；v?是事件P在S系中x轴上的速度；v?'是事件P在S'系中x'轴上的速度，也即公式中小型飞船的v?速度。

所以替换后即为小型飞船相对于恒星的速度为：v＝(v?＋v?)/(1+v?v?/c2)。（证毕）

当v?，v?速度远远小于光速时，v≈v?＋v?，这时也就变成了经典的速度叠加公式，即伽利略的速度变换公式。

【注：本篇文章是水木花了比较长的时间敲写出来的，因为是在word中完成的，不知道发出来是否会在格式上出现错误的地方，如果有，欢迎细心的朋友指出来。】

今天的分享就到这里，感谢对水木的支持。

本篇文章「水木长龙」原创，转载标明出处，谢谢！（2019/11/18）