从自然数1到虚数i,数字系统的扩展

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前言：本文从学习者的视角，由简入繁地介绍数字的演进过程，不代表历史上的真实过程。比如虚数 i 历史上来源于求一元三次方程的通解过程等，这里做简化处理。

在远古时期，人们通过结绳记事，同时又有十个手指头，自然而然地就产生了1-9 这样的自然数和十进制，后来又发明了0来表示没有。这样就形成了完整的自然数——0和正整数。自然数以及他们之间的四则运算基本上能够满足当时人们的生活需求，这些数是不是很“自然”？

▲结绳记事，图片来自网络

但这些运算最初是有限制的，比如减法，要求大数减小数，而不能反过来。比如我收获了5袋大米，交租用了3袋，我还有 5-3=2 袋。可是如果我有3袋大米，交租要用5袋，3-5 怎么办？现实中我得写个欠条，欠两袋来年还吧。但如何统一表达这种情况呢，于是负数就出现了，自此数字从自然数扩大到整数集(正整数，0，负整数)。

▲图片来自网络

而除法呢，以前我们要求大数除以小数，如果不能整除就用余数表示，那怎么统一表示小数除以大数的情况呢？还有余数怎么办？有人说我们可以把两个数直接写下来，比如a/b表示不就行了，嗯，这就是分数。但分数有点奇怪，不像十进制数，而且比较大小不直观，于是就用小数统一表示。自此数字从整数扩大到有理数，几乎能解决日常生活的方方面面了，似乎数字系统也到此为止了吧。其实以前人们也是这么想的。

▲泰坦尼克号，经典物理学的集大成者。

等等！在有理数中任何数字都可以表示为两整数之比，即要么是整数，要么是有限小数或无限循环小数，然而古希腊毕达哥拉斯的弟子希帕索斯发现，通过勾股定理（西方叫毕达哥拉斯定理）计算，边长为 1 的正方形斜边无法用两个整数的比值表示(后续会有√2是无理数的证明文章，欢迎查看)，引发了数学史上的第一次危机，当时人们认为这种数破坏了数字的完美性，于是就把他扔进了海里淹死了。（再后来布鲁诺也因日心说被烧死，古代西方人真够较真的）。但真理是无法被淹没的，类似√2 这样的无限不循环小数还是被大家发掘出来了，也就是无理数，至此数字从有理数扩大到实数。同时一维的数轴终于被填满了，不再有“空隙”。

▲图片来自网络

至此，数字系统应该完备了吧，只要你提出需求，我用实数总能给出答案，完美！

但是总有无聊的人出来找茬，因为在高次方程中，理论上最高几次就应该得有几个根，可是二次方程却可能无根，原因是任何数的平方总是正数，即只有正数才能开方，为什么负数就不能开方？这不完美！那我就强制规定一个数i=√-1吧，并叫他虚数，这样任何数都可以表示成 z=a+bi 这样有虚有实的形式，怎么样？酷不酷？可是这种奇怪的数字符合已有的数学运算吗？验证一下吧，哎呀，还真符合，还能兼容实数，逻辑自洽，那就把他转正吧。自此数字系统又从实数扩展到复数，数字也从一维的数轴扩展到二维的平面，这样所有的一元多次方程在复数范围内就有解了。可是复数这种生搬硬造出来的数有啥用呢？实际上对于大多数人来说，复数更多的是一种数学技巧，很难在现实中找到对应物。但在高等物理学热门领域的量子物理方面复数却很有用，神奇吧！可能造物主自己用的就是复数吧！

▲历史上第一次用到复数的地方。

通过数字系统的发展过程，我们能够发现每一次数字系统的扩展，都源自对现有知识的质疑。如果你能提出一种运算，并且能逻辑自洽，恭喜你，你也发明了一种新的数字系统，诺贝尔虽然没有数学奖，但拿个菲尔兹还是轻松又愉快！

▲诺贝尔奖和菲尔兹奖。图片来自网络

既然这么容易扩展，那我也大发神威，来解除除法的另一个封印吧，因为除法中 0 无法作为除数，那我就非得让 0 作为除数，看看能不能得到一种新的运算。可是 0 乘以任何数，无论实数还是虚数都是 0，也就是说一个非零数除以 0，任何数都不能满足。而 0 除以零，任何数都满足，这两种情况都没有意义，不能逻辑自洽，因此这个扩展失败！哎，菲尔兹还是离我远去了sigh‍。

总结一下吧！数字从自然数1发展到复数a+bi, 经历了漫长的过程，甚至有人付出了生命的代价，但每一次的扩展，都为人类生活带来了翻天覆地的变化。因此，遇到问题，提出问题，解决问题才是人类发展之道。最后用一张图来概括一下数字的扩展之路吧！

▲图片原创

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