贝尔不等式，爱因斯坦与玻尔关于量子世界不确定性的最终裁决者

1935年，在普林斯顿高等研究院，爱因斯坦、博士后罗森、研究员波多尔斯基合作完成论文《物理实在的量子力学描述能否被认为是完备的？》，并且将这篇论文发表于5月份的《物理评论》。

在这篇文章里，爱因斯坦提出了EPR谬论，用来反击哥本哈根学派玻尔对于量子力学的诠释，他们两个人之间的论战从 1920 开始，到 1955 年爱因斯坦去世，共持续了 35 年。在爱因斯坦看来，所谓的随机现象或概率事件中的偶然性，纯粹是人类的认识上的特征。世界万物都有其发展规律，哥本哈根学派认为微观世界物质具有概率波等存在不确定性，不过其依然具有稳定的客观规律，不以人的意志为转移，所以人类并不能获得实在世界的确定的结果。

可以说是两人方法论（方法论，就是关于人们认识世界、改造世界的方法的理论。它是人们用什么样的方式、方法来观察事物和处理问题）上本质的差异性导致了两个人之间的纷争。

这次的EPR之争起源于哥本哈根学派的海森堡提出著名的不确定性定理以及量子力学的几率解释，海森堡通过对确定原子磁矩的斯特恩-盖拉赫实验的分析证明，原子穿过偏转所费的时间△T越长，能量测量中的不确定性△E就越小。再加上德布罗意关系λ=h/p，海森伯得到△E△T≥h/4π，这个公式的意思是你不可能同时知道一个粒子的位置和它的速度，粒子位置的不确定性，必然大于或等于普朗克常数除于 4π ，（普朗克常数记为 h，是一个物理常数，普朗克常数用以描述量子化、微观下的粒子）

海森堡指出，为了准确测量一粒子现在的位置和速度，显而易见的方法是将光照到这粒子上，一部分光波被此粒子散射开来，由此指明它的位置。

然而，人们不可能将粒子的位置确定到比光的两个波峰之间距离更小的程度，所以必须用短波长的光来测量粒子的位置。但根据普朗克的量子假设可得出，人们不能用任意小量的光：人们至少要用一个光量子。这量子会扰动粒子，并以一种不能预见的方式改变粒子的速度。

也就是说，位置测量的越准确，所需的波长就越短，单独量子的能量就越大，这样粒子的速度就被扰动的越厉害。换言之，你对速度的测量就越不准确，反之亦然。海森堡最后作出结论：“能量的准确测定如何，只有靠相应的对时间的测不准量才能得到。”

如果还不明白，就是说，你选择以确定电子位置的实验本身，就导致了你无法对电子的动量进行精密的测量！

而 1926 年，1926年，薛定谔从经典力学的哈密顿-雅可比方程（使用分析力学中求解动力学问题的一个方程）出发，利用变分法（一种求解边界值问题的方法）和德布罗意方程，最后求出了一个非相对论的方程，用希腊字母ψ来=代表波的函数，最终形式是：

这就是名震 20 世纪物理史的薛定谔波动方程。薛定谔方程本意是为了反击量子力学，但是却成为了量子力学的基石之一，在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

后来玻恩更是提出概率幅的概念，成功地解释了薛定谔方程中波函数的物理意义。

爱因斯坦对海森堡的不确定性原理以及量子力学用统计或概率方法解释波函数，和它所伴随的非连续性波函数坍缩极为不满，他认为这是由量子力学主要的描述方式不完备所造成的，从而限制了对客观世界的完备认识，所以只能得出不确定性结果。

所以爱因斯坦发表了这篇论文。在这篇论文里，他们详细表述EPR佯谬，试图借着一个思想实验来论述量子力学的不完备性质。（EPR就是指：E:爱因斯坦、P:波多尔斯基和R:罗森）

爱因斯坦认为任何成功的物理理论必须具备两个要素：1、物理理论必须正确无误。2、物理理论必须给出完备的描述。

所以这篇论文认为完备理论的必要条件是:物理实在的每一要素在理论中都必须具有对应的部分;而要鉴别“实在”要素的充分条件应是:不干扰这个体系而能够对它做出确定的预测。并认为这是判断一种物理学理论成功与否的两个判据。但在量子力学中，由于测不准关系的结果，-~对共轭的物理量,精确地知道了其中一个量就排除掉另-个量的精确认识。而且任何-一种想在实验上测定后者的企图,都将改变体系的状态，这又使前者的知识受到破坏。
根据上述完备和‘实在的明确意义，对于这一对共轭的物理量在下述两个判断中只能选择一个:或者认为量子态波函数对于实在的描述是不完备的;或者对应于这两个不能对易的算符的物理量不能同时具有物理的实在性。总之，量子力学的波函数只能描述多粒子组成的体系(系综)的性质，而不能准确地描述单个粒子的某些性质;但是一一个完备性的理论应当能描述物理实在( 包括单个体系)的每个要素的性质，所以不能认为量子力学理论描述是完备的。这就是EPR谬论。

爱因斯坦的这篇论文并没有质疑量子力学的正确性，但是不完备的。就是说你这个理论不自洽，有模糊的地方。由此爱因斯坦在这两个假设上提出了经典的定域实在论，总结来说，定域实在论表明，微观粒子具有可测量、良好定义的物理实在，不会被在遥远区域发生的事件以超光速速度影响。（定域实在论是定域性原理和实在性原理的结合，定域性原理表明，物体只能直接地被毗连区域发生的事件所影响，遥远区域发生的事件不能以某种超过光速的传递方式间接地影响此物体。实在论表明，做实验观测到的现象是出自于某种物理实在，而这物理实在与观测无关。）

在爱因斯坦论文力的这个实验中提到，A和B两个粒子在瞬间接触后，沿相反方向离去。虽然测不准原理不允许同时得知每个粒子的位置与动量，但他允许同时精确的测量A和B两个粒子的总动量和他们的相对距离

这样一来，如果我们只测量A的动量，再根据动量守恒定律，就可以在B不受干扰和影响的情况下，精确的得知B的动量。

戴维·玻姆版的EPR思想实验，玻姆将其简化为测量粒子自旋的实验

这样就能证明B粒子的位置与动量的现实性在对B测量之前是存在的，并不是像哥本哈根那样所认为的在测量之前不存在位置与动量，动量与位置仅仅是以概率云的形式存在！

这个思想实验基于力两个非常重要的假设——定域性假设和有效性假设。

爱因斯坦的这波反击可以说实实在在地打蛇七寸在，直戳痛点。而哥本哈根学派掌门人玻尔虽然最后承认了爱因斯坦提出的“现实性”和“A,B之间不存在“力学”的影响”的观点。

可是玻尔却并没有认输，他指出这个实验中测量A粒子的行为是问题的关键 。

玻尔认为：A和B在分开之前曾互相作用，它们将永远作为一个系统的一部分纠缠在一起，不能视作2个独立的系统，因此测量A的动量实际上等效于对B进行了直接的同样的测量，这才使得B立即有了完全明确的动量 。根据玻尔的诠释，如果你测量了其中一个粒子的状态，你就立即知道另一个粒子的状态，无论它们之间的距离有多远。爱因斯坦认为这是不可能的，

这就引出了著名的“量子纠缠”理论，举一个例子，在微观世界里，两个纠缠的粒子可以超越空间进行瞬时作用。也就是说，一个纠缠粒子在地球上，另一个纠缠粒子在月球上，只要对地球上的粒子进行测量，发现它的自旋为下，那么远在月球上的另一个纠缠粒子的自旋必然为上。

但爱因斯坦立马反驳，量子纠缠怎么可以让两个粒子超越空间的进行瞬时作用呢？这不就是突破了光速极限了吗？爱因斯坦把这种可以超光速的作用称为“鬼魅般的超距作用”

爱因斯坦为此也举了一个例子。把一双手套分别放入两个外观完全相同的两个盒子里，打乱之后，随机挑选一个放在家里，而把另一个放到南极洲。倘若我打开家里的盒子发现为左手套，那么我就同时知道，远在南极的那个盒子里的手套必为右手套。爱因斯坦相信，量子纠缠是一个粒子被分割成两个粒子后形成的纠缠现象，所以它们各自的状态在被分离开的那一瞬间就被决定好了！这样一来，量子纠缠就不能超越光速了。

然而两个人之间的 EPR 之争直到结束依然没有结果，所以在他们去世之间，还是在争执不休，这个时候，贝尔出现了。

贝尔搞理论物理研究其实是业余的，他其实是从事加速器设计工程相关的工作，因为对于物理的热爱，让贝尔开始思考爱因斯坦与玻尔之间的论争。

贝尔认为爱因斯坦是对的，贝尔认为，量子论表面上获得了成功，但其理论基础仍然可能是片面的，没有看到更全面、更深层的东西。在量子论的地下深处，可能有一个隐身人在作怪：那就是隐变量。

隐变量是指爱因斯坦认为应该有“实在性元素”应该加入量子力学中，俾使在量子纠缠现象中不会出现鬼魅般的超距作用，这就是隐变量。

由此，贝尔在基于定域性原理和实在性原理的基础上，对于两个分隔的粒子同时被测量时其结果的可能关联程度建立了一个严格的限制，由此提出了贝尔不等式。

如果总自旋为零的自旋纠缠电子对中的一个电子的自旋朝上，另一个电子的自旋就必定朝下。根据定域性原理，在这两个电子反向飞行得足够远、彼此间的相互作用可以忽略的情况下，电子1自旋投影的测量结果A仅与自旋方向s和仪器1的磁场梯度方向b1的夹角有关，与仪器2及其测量结果无关；电子2自旋投影的测量结果B仅与s和仪器2的磁场梯度方向b2的夹角有关，与仪器1及其测量结果无关。贝尔将一个电子的自旋方向s看作是隐变量，假定电子1自旋投影测量结果为A时，电子2自旋投影测量结果为B的几率f(s)只与自旋方向s有关，乘积AB的平均值P(b1,b2)等于f(s)A(b1,s)B(b2,s)对s的各种可能取向的积分。贝尔从这个平均值的定义式出发推导出了贝尔不等式，表明贝尔不等式与量子力学是不相容的。

“贝尔测试”可以用来检验这奇异的量子特性究竟是由定域隐变量决定的（即粒子的性质在测量之前就已经决定了），还是由非定域的量子纠缠所导致（非定域代表可以超光速传播）。科学家通过对不同的纠缠粒子进行独立的测量，如果在统计上，粒子对中粒子间的相关性超过了一个上限，就不能用隐变量来解释了，也就意味着结果更符合量子力学的预测。

简单来说，贝尔不等式指出，量子纠缠背后到底有没有一个未知的新世界或者新现象（隐变量）干预着粒子之间相互作用，进而导致自然世界出现了像量子纠缠这种神奇的“表象”。如果该不等式成立，那么爱因斯坦获胜，如果该不等式不成立，则玻尔获胜！

因为如果贝尔不等式不成立，就说明不存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预测。就是说爱因斯坦等人希望“完备理论”是不存在的，不能实现的。

那么玻尔领导的哥本哈根学派关于量子力学的诠释是正确的，如果存在关于局域隐变量的物理理论可以复制量子力学的每一个预测，就是说爱因斯坦等人希望“完备理论”是存在的，能实现的。

贝尔不等式相当于当起了爱因斯坦和哥本哈根学派的仲裁者，它把爱因斯坦和哥本哈根学派涉及到哲学层面的（方法论）争论演化成了可以运作、具体的检验，从而让这场论战在未来可以画上一个句号。

检验贝尔不等式的实验也很简单，实验者只需要需要产生一对纠缠的粒子——通常是光子，并将它们送往两个不同的实验站，在那里它们的其中一个性质（比如自旋或极性）会被测量。如果测量发现这两个粒子产生的结果一致，就意味着要么对其中一个粒子的测量会立即影响到另一个粒子的性质，要么测量本身会导致粒子拥有该性质。如果测量的结果不相符，那么就验证了爱因斯坦的定域实在论。

然而在过去的几十年里，所有贝尔测试的实验结果都偏向于量子力学。但这些实验都无法给出一个完美的判定，因为每个实验都至少包含了这样或那样的漏洞，使得测试的结果能够以与定域实在论相一致的方式来解释。

2016年8月，中国发射世界首颗“量子卫星”——墨子号，将组建连接全世界的通信网络。

美国《科学》杂志上报告说，中国“墨子号”量子卫星在世界上首次实现千公里量级的量子纠缠。

墨子号把远距离量子纠缠分发来检验贝尔不等式作为三个主要目标之一，随着我国率先实现千公里级量子纠缠分发 ，也直接地证明了量子纠缠的存在。推翻了贝尔不等式，量子力学的权威性得到了维护。

量子纠缠分发就是把制备好的两个纠缠量子分别发送到相距很远的两个点，通过观察两个点的测量结果是否符合贝尔不等式来检验量子纠缠的存在。这是验证远距离量子力学正确性和实现广域量子网络必不可少的手段。

爱因斯坦将宏观力学的方法论运用到微观领域，然而微观世界却并没有现实世界这样充满着确定性，而微观世界的深不可测，不也正说明了这个宇宙的丰富多彩、奥妙无穷吗？