期末来了：《导数与微分》应知应会题型、求解思路与典型练习（一）

1、利用导数的定义判定导数存在性与求导数

求解思路：基于导数的定义，如果函数在 的邻域内有定义，则

即极限存在不仅判定函数在 处可导，而且得到极限值就等于导数值. 通常也应用如下一些等价的极限描述形式

另外，对于 处左右邻域内函数表达式不同时，也使用左右导数的来判定，即

函数 在 处可导的充要条件是左右导数都存在并且相等.

对于以下问题常考虑利用以上导数的定义来探索可能的求解思路：

(1)抽象函数的导数的存在性和导函数的计算，分段函数分界点导数的存在性与导数的计算，一般使用导数的极限定义来判定与计算.

(2)对于分段点两侧函数表达式不同的分段函数，还需要借助左右导数的极限定义来判定与计算.

(3)如果一个题目中没有已知导数存在的条件，而需要使用导数的结论，则一般考虑应用导数的定义来判定导数的存在性和应用可导的结论来探索问题的求解思路.

(4)对于一些复杂函数表达式具体点的导数值的计算，使用求极限的方法求导数可能更直接.

练习1: 设 ，求 .

【参考解答】：由于 ，故

练习2: 设 在 处连续且 存在，试问 在 处是否可导?

【参考解答】: 由题设和极限乘法法则，得

故由导数的定义，可知

所以 在 处可导， 且 .

【注】该结论经常在求抽象函数极限式中用到.

练习 3: 已知函数 在 处连续.

(1) 研究函数 在 处的可导性；

(2) 判断函数 有几个不可导的点.

【参考解答】: (1) 因为 在 处连续，则

绝对值函数可以改写成分段函数描述

故在分段点的导数存在性判定分左右导数分别判定并判定其是否相等. 于是由左右导数的定义，得

导数存在当且仅当 ，即 时， 在 处可导，否则不可导.

(2) 由(1)的结论，改写函数表达式为

由于 ，所以 只有一个不可导点 .

【注】该题结论可直接用于判定包含有绝对值乘项的函数不可导点个数，当然其结论也可以应用(1)的思路与步骤，对绝对值等于 0 的点直接进行验证与判定.

2、利用导数定义求极限

求解思路: 在已知函数可导的情况下，极限式可以改写为导数定义描述，利用导数的存在性计算极限和判定极限的存在性. 即如果 在 处可导，则

其中 可以自变量变化的六个变化过程的任意一种.

练习1: 若 存在，且

试求 .

【参考解答】：由函数导数的定义和导数的存在性，改写极限式，得

即 .

练习2: 设函数 在某点 处可导，求

【参考解答】：由导数的极限式定义，改写极限式得

3、导数的几何意义

求解思路：函数在一点导数值等于函数描述的曲线在该点处的切线的斜率，即曲线 在点 处的切线的斜率 切 且该点处法线 (经过切点与切线 垂直的直线 的斜率为 法 . 故过曲线上点 的曲线的切线与法线的方程为

【注】连续函数不可导点的几何特征: 尖点是左右导数不相等; 存在铅直切线是因为极限值趋于无穷大. 函数的导数等于 0 ，则对应曲线在该点处有水平切线，且切线方程为

练习: 求函数 的图形在 处的切线方程和法线方程.

【参考解答】：由 ，得 ，故由导数的几何意义，可得切线方程为

即 . 法线方程为

即 .

4、函数可导的必要条件

求解思路：函数在一点可导，则函数在该点处一定连续; 函数在某点处连续，函数在该点不一定可导! 即可导必连续，连续不一定可导.

【注】函数在一点的连续性与可导性与函数在该点邻域内的连续性与可导性没有任何关系，函数在一点可导只要求函数在该点的某个邻域内有定义即可. 连续函数在定义域可以处处不可导，如魏尔斯特拉斯函数；函数也可以在定义域内仅仅只有一个可导点.

练习: 试确定常数 的值，使得函数 在点 处可导.

【参考解答】：要函数 在点 处可导，则它必在该点连续，从而

由函数的定义式，可得左右极限分别为

又 ，故得 . 另一方面，函数 在点 处可导，则左、右导数存在并且导数值相等. 代入 ，分别计算左右导数，得

于是得 . 因此，当 时，函数 在点 可导.

5、初等函数的基本计算方法

求解思路: 基于初等函数在定义域内都可导、几个基本初等函数的导函数结论、求导的四则运算法则与复合函数求导的链式法则

可以求得一般初等函数在定义域内的导函数，并通过导函数可以求得导数值

【注1】对于一般先四则运算法则，然后再复合函数求导法则，能够化简的表达式先化简再求导.

【注2】对于一些复杂函数表达式具体点的导数值的计算，使用求极限的方法求导数可能更直接. 见 “1、利用导数的定义判定导数存在性与求导数" 中的例 1 .

练习: 求下列函数的导数:

【参考解答】：(1) 由分母有理化，分母乘以分子，得

故由求导的减法和复合函数求导法则，得

(2) 先由乘法法则，得

再由复合函数求导法则，得

代入得

6、 反函数的导数

求解思路: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数，即

【注】注意以上求导公式: 反函数不要改变变量符号，直接函数与反函数关于各自的变量求导数. 即函数 关于 求导数；其反函数为 是关于 变量求导数，结果应该是 的函数. 当然可以借助于 将导数关于 的表达式结果转换为 的函数表达式，得到函数 的导数表达式. 当然， 的结果表达式也可以是直接表示为 变量的表达式.

练习: 求函数 的导数 ，其中:

【参考解答】: (1) 函数 的反函数为

故由反函数求导公式，得

即 . 故 .

(2) 函数 的反函数为 ，故

由 可知当 时 ，故

7、高阶导数计算的直接法与分段函数的导数

求解思路: 高阶导数就是对导函数继续求导. 因此，求高阶导数必须先要计算出前一阶导函数表达式，对于一阶一阶求导来得到高阶导数的过程称为逐阶求导法，也称为导数计算的直接法，一般适用于较低阶的求导和基于数学归纳法求高阶导数的通项公式，比如几个基本初等函数 的高阶导数通项公式的推导!

【注1】初等函数在定义域内具有任意阶导数.

【注2】对于导函数的可导性的讨论与导数的计算和函数可导性及导数的计算思路与步骤完全一致! 对于一点处高阶可导性的讨论一般使用定义法，如果是分段函数的分界点高阶导数存在性的讨论则基于导函数的左右导数，即左右高阶导数来判定.

【注3】分段函数导函数的计算方法: 在区间内，基于初等函数的可导性，直接利用求导法则逐阶求导; 对于分段点，单独利用导数的定义，或左右导数的定义通过求极限判定导数的存在性与求导数值，得到的导函数一般也为分段函数. 依次下去可以得到分段函数的高阶导数.

练习: 设 ，求使得 存在的最高阶数 的值.

【参考解答】：将函数写成分段函数表达式，得

于是有左右导数的定义，得

又在定义区间内

所以一阶导函数为

对 应用以上步骤，得

又在定义区间内

所以二阶导函数为

从而再次由左右导数的定义，得

故 不存在，即使得 存在的最高阶数 的值为 .

8、高阶导函数计算的间接法

求解思路：高阶导函数的计算一般考虑间接法，即基于高阶导数的线性运算法则

几个基本的初等函数的高阶导数通项计算公式

通过改写函数表达式为已知了高阶导数计算通项公式的函数的线性运算结构, 并基于复合函数的求导法则来求高阶导数的方法.

练习: 设 ，求 和 .

【参考解答】：改写函数表达式，分解部分分式，得

故由上面所得的公式

故得

于是 .

9、利用莱布尼兹公式计算高阶导数

求解思路: 对于需要求解高阶导数的函数，如果其函数表达式可以写成两个已知了高阶导数通项计算公式，或者高阶导数 (值) 容易计算的函数的乘积，则可以考虑使用莱布尼兹高阶导数计算公式直接写出指定阶的导数计算公式，即

其中 .

练习1: 设 ，试证:

其中 ，并求 .

【参考解答】：由于 ，改写得

于是由莱布尼兹公式，两端求 阶导数，得

对于前面一项，有

展开求和式，得

即所需验证的等式成立. 令 ，得

容易计算得到 ，且

因此，可以推得

其中 .

练习2: 设 ，求 .

【参考解答】: 改写函数表达式，得

则由莱布尼兹公式，可知

其中 的每一项都包含有 因式，故代入 ，得 . 故得

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