引发第三次数学危机的罗素悖论

计算依赖于算术和代数学。

在19世纪末、20世纪初，第二次数学危机刚刚得以彻底解决，完成分析严格化运动的数学界信心满满，随即开始进行对数学更基础的改造。

这次他们瞄准了算术，誓要为数学各大分支最重要的共同基础——算术——建立一个稳固而严格的根基。

在这个过程中，涌现出丰硕的成果，康托尔的集合论无疑是最耀眼的那颗明珠。

但也正是康托尔带头引出的一系列问题，激发起数学界的探索并最终建立现代数学的大厦，其中一个副产品就是与计算相关的理论。

康托尔创立的集合论为数学基础提供了一个重要工具，在《计算》一书第4章我们已经讲述过这个过程。

但是1895年康托尔却在集合论中发现了悖论，并在1896年将其告诉希尔伯特。

康托尔当时并未发表这一悖论，首先发表这一悖论的是意大利数学家布拉里·福蒂，他在1897年3月28日的巴拉摩数学会上宣读了一篇论文《关于超穷数的一个问题》，提出了最大序数悖论，即现在我们所说的“布拉里-福蒂悖论”。

最大序数悖论的描述为：在康托尔的集合论中，每一良序集必有一序数，序数是可以比较大小的。

与此类似，1899年康托尔又发现了“最大基数悖论”，现称为“康托尔悖论”。

康托尔在1899年7月28日和8月31日给戴德金的两封信中阐述了这一悖论。

最大序数悖论和最大基数悖论在当时并未引起广泛的关注，但已经使集合论的上空飘浮了几朵乌云。

到1901年6月，伯特兰·罗素在仔细考察这两个悖论并分析它们的结构后，提出了一个新的悖论，被称为“罗素悖论”。

罗素悖论可以简单描述为：假设N是由所有不属于自身的集合所组成的集合，那么请问N属于自身吗？如果N属于N，那么按照定义，N不应当把自身作为元素；如果N不属于N，则按照定义N应当包含N。这就形成了矛盾。

1918年，罗素将这个悖论通俗地解释为“理发师悖论”：一个村里的理发师宣称只帮不给自己刮胡子的人刮胡子，那么请问这个理发师该给自己刮胡子吗？如果他给自己刮胡子，那么按照他的声明，他不应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，那么按照他的规则，他应当给自己刮胡子。这就陷入了矛盾。

罗素悖论由于形式非常简单且通俗易懂，引起了巨大的反响。

1902年6月，罗素在阅读弗雷格的著作后，给弗雷格写了一封信，在信中他首先对弗雷格的工作大加赞赏：“我发现我在一切本质方面都赞成您的观点……我在您的著作中找到了在其他逻辑学家的著作中不曾有过的探讨、区分和定义。”

但随即，罗素提到了他在弗雷格的《算术的基本规律》（第一卷）中发现的问题，即“罗素悖论”。

弗雷格立即意识到这个问题的严重性，当时正值《算术的基本规律》（第二卷）即将出版，弗雷格马上增加了一个跋语，并附上了这个悖论。

弗雷格说道：

“在工作结束之后，却发现自己建造的大厦的基础之一被动摇了，对于一个科学家来说，没有任何事情比这更为不幸的了。恰好在本卷印刷即将完成之际，伯特兰·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。……在灾难中有伴相随，对于受难者来说是一种安慰。如果这是一种安慰，那么我已得到了安慰。因为，在证明中使用了概念的外延、类、集合的每一个人，都与我处于同样的境地。成为问题的不仅是我建立算术的特殊方式，而且是算术是否完全有可能被给予一个逻辑基础。”

弗雷格的话反映出当时数学家们的窘境。

集合论中存在的悖论直接动摇了数学的基础，让刚刚宣布完成严格化的数学变得不再稳固。

如果数学中蕴含着潜在的矛盾，那么所有数学家证明的定理可能也都是隐含着矛盾的。令人尴尬的是，罗素悖论看起来极其简单，但很难在短时间内找到一个完善的修复方案。

弗雷格之后对数学心灰意冷，转而将兴趣与热情投向哲学，并奠定了语言哲学的基础。

罗素在1903年出版的《数学的原则》［《数学原理》（第1版）］一书的附录部分中，对弗雷格的著作做了一次广泛而详尽的评论，当然也谈到了他的悖论。

罗素在晚年写道：“每当我想到正直而又充满魅力的行动时，就会意识到没有什么能与弗雷格对真理的献身相媲美。他毕生的工作即将大功告成，而且其大部分著作曾被能力远不如他的人所遗忘。他的第二卷著作正准备出版，但一发现自己的基本设定出了错，他马上报以理智的愉悦，而竭力压制个人的失望之情。这几乎是超乎寻常的，对于一个从事创造性工作和知识研究，而不是力图支配别人和出名的人来说，这有力地说明了这样的人所能达到的境界。”

以上摘自吴翰清新作《计算》！转自博文视点，[遇见数学]已获转发许可。

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