语文学不好，就看不懂数学题吗？

有一天儿子做语文作业，用汉语拼音写了一句话，“爸爸心里很开心”。我跟他说，这句话是错的，他坚称，语文老师就是这么教的。我一时说不清楚这句话到底哪里不对，“高兴”和“开心”很多时候是一个意思，但“爸爸心里很高兴”绝不能替换成“爸爸心里很开心”，这是语感。

过了两天，数学老师在家长群中说——“我们最近学习了两种类型的应用题，一是关于求‘一共有多少个’，二是求‘还剩下多少’。两种类型题都是关于总数量、部分量和另一部分量之间的关系。孩子们刚开始学习带文字的应用题，所以在读题、审题习惯上还需要在家加强练习。我们在后续的学习中也会继续带着孩子复习读题和分析数量关系的方法。”

读题并分析数量关系，我儿子应该有这个能力。学校老师曾经讲过成语故事“亡羊补牢”，我怕他理解不了这个故事，回家又给他讲了一遍：“有个农夫，养了十只羊，丢了一只。”儿子纠正我：“你说得不对，他养了六只羊，丢了两只。”我问他：“那亡羊补牢是一个数学故事，说的是六减二等于四？”我儿子很肯定地说，就是六只羊丢了两只。好吧，应用题的解题技巧，第一步就是审题，把语言描述的一道题提炼出数学模型来。“亡羊补牢”就是连续做减法。

儿子做数学作业的时候，我在边上守着。我看到这样一道题：三个小孩子，每个都戴着一个口罩，中间那个孩子，手里拿着一包口罩，包装袋上写着“10个装”，题目是——每人用1个口罩，还剩几个？这道题没啥问题，10减3等于7。这道题边上还有一道题，画的是早餐，桌上左边有一袋面包，看不出里面有几片，包装袋上写着“8片”，中间画了一杯牛奶，右边画了一个盘子，上面有两片面包，问题是——一共有几片面包？答案似乎也很明确，8加2等于10，一共有10片面包。我看这两道题并列在一起，不免感到疑惑。口罩包装袋上写着“10个装”，这是一种“拟真”；面包包装袋上写着“8片”，这是一种标注，或者说，这是一种“形式化”。市面上有各种吐司、面包片，我未见过标明有几片的。口罩包装袋上写着“10”，里面却未必是10，面包包装袋上写着“8”，里面就一定是8？盘子上那两片面包为什么不是从包装袋子里拿出来的呢？在同一页上出现“拟真”和“标注”两种表现方式，有点儿逻辑上的错乱。

浙江有一位特级教师叫刘善娜，写过一本书叫《把数学画出来》。她说，小学生对数学世界的认识有以下几个表征形式：一是动作表征，要掰着手指数数；二是实物表征，要用小圆珠或糖果来算加减法；三是图形表征，思维活动离不开实体，要用图形替代实物；四是符号表征，用抽象的数学符号来反映数学关系；五是语义表征，用概念、判断来反映数学关系。刘老师在这本书中强调，给一、二年级学生布置作业，也可以让他们画“数学故事”。我尊重刘老师的想法，但我真的不喜欢这样的教学方法。

我在一年级的练习册上看见这样的题目：3加一个草莓等于5，问草莓是几？然后草莓加一个橘子等于6，再问橘子是几？草莓和橘子画得很好，但我不明白为什么不用X和Y直接替代草莓和橘子。不管你画的是草莓、橘子还是香蕉、西瓜，这就是方程和未知数。

我在二年级的奥数练习册上还看到这样的问题：“西湖美”加上“美啊美”等于“西湖美啊”，列着竖式，问你“西湖美啊”这四个汉字分别代表哪几个数字。还有把数字和汉字混杂在一起的竖式，“我0”减去“2爱”等于“伟爱”，“伟爱”加上“4大”等于“祖国8”，问你“我爱伟大祖国”这六个汉字分别代表数字几。这是把爱国主义教育渗透到加减法中了。但是，将汉字和数字混杂在一起，除了让孩子的脑子乱一下，并没什么智力上的好处。用字母代替数字，比用汉字代替数字，要更合理。画，跟数学分不开。用长方形面积来表示乘积，画图形来理解（a+b）的平方，这是画。画一条数轴，理解加法就是连续计数，这也是画。这些是真正数学意义上的画。小学一年级画出斐波那契数列的螺旋线，似乎也不是很难。小学低年级数学，非常害怕“抽象”。经常用图画来展示数学题的运算，却很少是数学的图画。

一年级的《五三练习册》上还有一道题，题目是这样的——有10个小朋友在玩“猫捉老鼠”，已经捉到了5个，还有几个没被捉到？我儿子写了涂涂了写再涂再写，写的是“9-5=4”，老师打了一个对勾。但我从他反复涂改的笔迹中，看到他脑子里的混乱。这道题似有bug，10个小朋友玩“猫捉老鼠”，我们假定谁都知道猫捉老鼠的游戏规则是什么，但还是需要知道，有几只“猫”。我玩过两只猫和三只猫捉若干老鼠的游戏。如果给定条件是1个小朋友扮演猫，那这道题应该是10减去1再减去5，从题目中，我看不出“10减去1”这一步从何而来，也不知道那个“9”从何而来。应用题是要从文字描述中找出数学模型，那么10减1等于9这一步就不能少。

有一种说法，说学好语文才能学好数学，语文学不好，就看不懂数学题。然而，数学有数学语言，数学语言简化了自然语言，克服了自然语言中含糊不清的毛病。我们看一些词——有且仅有，当且仅当，一切，任意，存在，至多，至少，且，或，都不，不都，稠密，不完备的……这些词都非常的数学。“联结任意三角形的三个内角的相邻的三等分角线的三个交点而成的三角形是等边三角形”，这也是数学语言，繁琐又准确。

上海有一位陈永明教授，在徐汇区教育学院做教师培训37年，著有一套《陈永明数学教学丛书》，其中一本叫《数学教学中的语言问题》。陈老师主持过一次“数学语言测试”，考一考初三到高三的学生对“数学语言”到底理解得如何。这套测试卷一共有七部分，我们看最开始的几道判断题。

1.有一个整数是负数。

2.至少有一个整数是负数。

3.有一个数，它和一切数的乘积都是0。

4.只有一个数，它和一切数的乘积都是0。

5.至少有一个数，它和一切数的乘积都是0。

6.至多有一个数，它和一切数的乘积都是0。

以上这六种描述，都是正确的。

7.下面两句话，意思是一样的：

A.有一件展品，每个参观者都喜欢。

B.每个参观者，都喜欢一件展品。

8.下列两句话，意思是一样的：

A.有一个数，它比所有的正数都小。

B.对于所有的正数来说，都有一个数，比它们小。

7和8的两个判断，都是错误的。

这些句子都跟语言、逻辑有关。我们再看一个复杂点儿的。和“我班至少有两个学生是区三好学生”意义相反的句子是：A.我班至少有两个学生不是区三好学生；B.我班至多有一个学生是区三好学生；C.我班至少有一个学生是区三好学生；D.我班至多有两个学生是区三好学生。陈老师的测试结果显示，学生在“数学语言理解”上的成绩跟他们的数学成绩强相关，跟他们的语文成绩弱相关。初三那些数学成绩较差的学生，也搞不明白这些数学语言和逻辑。陈老师说，初中是学习数学语言的关键时期，有些学生不敢把自然语句“翻译”成带数学符号的方程，不敢设字母，这是抽象能力不足造成的障碍。

生活中的语言总会发生变化，我这个岁数的人，肯定做过类似的应用题——曙光电视机厂计划30天生产5400台电视机，实际上每天比计划多生产20台，照这样计算，完成原定的生产任务，要少用多少天？比我年轻点儿的人，应该做过类似的应用题——某公司改制成股份公司，原来注明是每个人平均入股，正式统计时有10人表示不参加，因此，其余每人要多负担1万元。到实际付款时，又有15人决定退出，这样，最后余下的人每人要再增加投资2万元，问该公司原有多少人准备入股？如果一个学生能理解什么叫“生产计划”，什么叫“股改”，那他也能理解什么叫“两数的平方和”，什么叫“两数的和的平方”。

我们都熟悉一种句型——“如果……，那么……”，陈老师说，数理逻辑中有一种叫“蕴涵”的运算，“如果……，那么……”就是蕴涵的语言外壳。“如果7=8，那么7+1=8+1”，即“如果P，那么Q”，P是假的，Q是真的，P蕴涵Q也会是真的。我们学反证法，就是在这个逻辑之下。比如要证明，“一条线的垂线，和与该直线相交的直线必然相交”。用反证法就要假设一条线的垂线和与该直线相交的直线是平行的。数学归纳法也是在这个逻辑之下。这个例子听上去略有些复杂，很多学生对“数学语言”产生困惑，好像是从学平面几何才开始，但数学语言的出现可能比我们想象的要早。比如说，将“最多三天”、“至少三天”及“少于三天”转化为数学语言，那就是小于等于3、大于等于3和小于3。

我看过一个视频，是北京人大附中李永乐老师用戴德金分割证明无限循环小数0.99999……等于1。戴德金分割将整个有理数分拆为两个非空集合A和B，A交B是空集，也就是说A和B之中没有重复的元素，A并B是有理数，如果a属于A集合，b属于B集合，则a小于b。这说的就是在数轴上切一刀，将有理数分成左右两个部分，这一刀可以切在任何一个地方。这样的分割之后，会有以下四种可能：其一是A中有最大，B中无最小；其二是A中无最大，B中有最小；其三是A中无最大，B中无最小；其四是A中有最大，B中有最小。A中有无最大，B中有无最小，这就是一套语言。以上四种语言描述都可以写成数学描述，需证明第四种情况不存在，而第三种情况就是那一刀切在了无理数上面，切在了有理数的间隙。戴德金说，他可以由此来定义整个实数，有理数的全体分割就构成了实数。如果对实数进行分割，则只会出现两种情况，A中有最大、B中无最小或者A中无最大、B中有最小。戴德金分割是定义实数的一种方法，是数学公理化之一种。

什么叫有理数，什么叫实数，需要确切的定义。什么叫自然数，什么叫加法，也需要确切的定义。但考虑到一年级小孩子没有那么强的逻辑能力和语言能力，我们就糊弄过去了。

不过，陈永明老师在《数学教学中的语言问题》中提醒我们——“力求词意确切，是研究数学教学语言的重要课题，这也是和数学严谨性相适应的。日常生活中，词的意思常常是通过解释来表达的，有的甚至只可意会。在数学里，反映数学概念的词的意义，一般是通过定义加以规定，也就是说，通过已经了解的概念来规定新概念的意义。概念的步步上溯，最终归结到几个原始概念，它们的意义是凭人类长期的经验来理解的，在现代数学里，则是采用公理化的方法加以规定。通过逻辑手段，也就是定义方法确定反映概念的词的意义，这保证了词的专义性，这是数学课中语言的主流。”

但是，陈老师说了，数学课中的词也有模糊的地方，我们会借用日常生活中的词；还有，许多带有数学特点的词也无法用定义来规定其意义，比如“内部”“邻近”“对应”等。