压轴题研题活动第98场2022年重庆A卷第25题

精彩点评一

卢老师以2022年重庆市中考数学A卷第25题为例，将三角形全等中的一边一角进行了梳理和归纳，及旋转和翻折中的动点问题中常见线段关系和最值问题进行了梳理和归纳，使我收获多多。

1、拨正反乱。第一问，由题目中的条件BD=CE BC=CB ∠BCD=CBE，好多学生容易错用“SSA”来证明△BDC和△CEB全等，这是本题设置的第一个陷阱，增加了学生的解题难度。卢老师从题目中一边一角来通过添加角或边来引导学生用“SAS、AAS、ASA”来证明全等。在添加边时，常用补短（在CD的延长线上作CM=BE）和截长（在BE上截取BM=CD），进而证明△BCM≌△CBE或△BCM≌△CBD；在结合等边等角及三角形内角和180°和外角关系进而求得∠CFE=∠A=60°。在添加角时，常用补角使小角等于大角或截角使大角等于小角来证明三角形全等。这证明中，卢老师归纳了常见的6中证明方法。在这题解答之后，卢老师由一般推出了这题的特殊情况，当AB=AC AD=EC时，证得△ADC≌△CEB，进而也求得∠CFE=∠A=60°，归纳出了由一般到特殊的思想方法。

2、步步推进。第二问刚好是在第一问题中特殊图形中进行旋转和设问。卢老师引用我们在做该题时，可以先用度量的方法来猜测线段之间的数量关系：BF+CF=2NC。由于这三条线段都不共线，因此，引导学生利用截长补短和倍长中线的方法来将BF和CF放在同条线段上，再证得该线段和NC的关系。第一种方法，截的GF=BF，先证得△ABG≌△CBF，进而得到∠AGB=∠CFB=120° AG=CF ∠GAB=∠BCF，最后求得∠CGA=60°。再通过倍长中线的方法得到CR=2CN和平行四边形FCMR，再结合平行的性质及内角和得到∠CMR=∠GAC，再通过证得△AGC≌△MRC来得到GC=CR，最后得到BF+CF=2NC。第二种解法是在第一种方法上连接AR，先证得点G、A、R三点共线，再证得等边△GCR进而求得结果。第三种方法根据倍长中线得到延长FC=CL得到ML＝2CN，先证得△GAC≌△MCL，得到ML=CG，进而求得结果。也可以利用延长MC=CL得到FL=2CN，最后求得结果。

3、模型定位。第三问是定弦定角模型问题。在这一问中，卢老师归纳出了动点轨迹中最值问题的常见模型：直线型（两点之间，线段最短--将军饮马和阿氏圆，垂线段最短--胡不归）、圆弧型（某点到圆上的最值--定弦定角和定点定长）。在定角（∠BFC=120°）定弦（BC）问题中，当点P、F、O三点共线时，PF最小，利用HL/PL=OA/PA=2/√3，结合面积或三角函数将PK或PJ表示出来，进而得到PQ=2PJ或PQ=√2PK，设HL=KL=2x，进而将QP和BC都用x表示出来，PQ/BC的值也就求出来了。再由该问出发去思考第二问，发现第二问中第三种方法可以看成定弦定角问题，使得FL=BF+CF。

再次感谢卢老师的精彩讲题和张钦博士提供的学习平台，让我不断学习和成长！我将继续向各位学习取经，更好的服务教学和学生！

精彩点评二

2022年重庆市中考数学A卷25题是一个几何综合题，这题考查的知识比较丰富，对学生分析问题、解决问题能力的考查要求也比较高，这就决定了本题的讲解有一定的难度，要求老师解决“如何从相关条件切入、为什么从相关条件去切入？“的问题。从卢老师的视频中，我清晰看到了卢老师研究这个综合题时的抽丝剥茧的痕迹，也感受到了卢老师那种破茧成蝶的快乐。

首先，卢老师在解题教学中显然有一个很好的习惯，回归课本，回归基本知识、基本方法。第一问，卢老师从已知条件着手， 根据全等所需条件构造对称全等（两个三角形在公共边同侧）这个基本图形；第二问，充分运用了生动活泼的合情推理这个基本推理方法，通过测量、动点在特殊位置顺其自然猜想三条线段的数量关系，并利用中点构造中位线、平行四边形，利用60°构造等边三角形等基本图形来解决问题；第三问，解决最值问题之前先回顾所有相关的最值问题基本理论依据及基本图形的构造，然后轻松切入本题。相信卢老师的这个思考习惯，会渗透在日常的教学中，对学生会有一定潜移默化的影响。这样我们的学生在思考问题时才能做到有迹可循。

另外，卢老师特别注重问题之间的联系，在三个问题的分析过程中，充分挖掘三问之间的联系，相信日常教学中也会注重知识或者不同问题之间的联系，对学生抽象、归纳及创新能力培养应该有一定的价值。第一问分析完毕，卢老师作了一个变式，刚好与第二问相关，但是正是增加的特殊的条件才产生第二问的特殊的数量关系；我们会发现第二问三条线段特殊的数量关系就是因为“定弦定角120°的存在”，才可以使“BF+CF”等于特殊“某条线段”的长，所以只要构造“某条线段的一半”就可以得到三条线段的特殊数量关系；而且正是定弦定角的存在，才有角F的运动轨迹在一个圆上，进而出现相应的第三问的最值问题。

最后，一点可以共勉的建议：受第二、三问的启发我们可以尝试将等边三角形换成正方形，定角转化成90°，也可以构造新的三条线段的特殊的数量关系。第二问的120°，是我们很常见的一个基本图形里面的定角，围绕这个变化中的不变性，我们可以有很多继续延展的研究，本题第二、三问在此基础上衍生了新的问题，从问题表面，隐藏了定角的存在，给了我们更大的思维空间，这是我们自己在尝试变式时所缺乏的。

感谢张钦博士给我们提供这样一个平台，感谢各位讲题老师的认真研究，因为每个人的研题中所展现的智慧都会给我们启迪。

精彩点评三

2022年重庆市中考数学A卷第25题，以三角形为载体，综合考察了等边三角形，全等三角形，四边形，圆，相似三角形，最值等知识，感谢卢老师的精彩讲解。
这道几何压轴题第一问起点就比较高，需要学生根据已知条件构造全等三角形，避开SSA，再进行等角转化。第2小问是在第1问的基础上条件特殊化，能猜想出BF+CF=2CN比较难，三条线段均不在同一条直线上，可以通过截长补短和中线倍长进行等量转化。成功猜想需要构造出等边三角形△GBF，BF转化为GF，倍长中线后构造全等三角形△CMN≌△RFN，得到CR=2CN，通过观察CR和CG，发现他们可能相等，再证明△AGC≌△MRC得到GC＝RC，线段等量转化后得证。第3小题作图较复杂，作图也是很多学生比较畏惧的，此问还要在其中探索最值问题，线段比值问题，非常考验学生的意志力。我们在平时教学中，如何通过课堂上基础的作图培养学生思考动点问题和分类问题，值得花时间探索，鼓励学生敢于动手画草图，课堂上要舍得给学生时间尝试。求线段比值类的问题，一般是用字母来表示线段长，寻找相关联线段间的关系，可通过全等、勾股定理、相似、三角函数等建立联系。在具体的题目解答过程中，灵活运用，由条件出发，推导出可能的结论，并在其中寻找有利于推理的部分，进行下一步推导。
通过学习卢老师对本题的讲解，获益匪浅。卢老师层层剖析，深入浅出，问题分解，各个击破，化繁为易，叹为观止。感谢张钦博士搭建的研题平台，让我们每周都能享受到思维的盛宴、精神的洗礼，不断的为平时教学充电蓄能。

精彩点评四

2022年重庆市中考数学A卷第25题，是以三角形为背景的几何变换综合题。主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形胡判定和性质、旋转的性质、平行线的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识，综合性强。三问都有不小的难度，解题的关键是作出合适的辅助线，正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面积法解决问题，是一道难度较大的中考压轴题。反复观看卢老师的研题后收获颇多。

首先，善于从条件本质出发，引导其认真读题审题，每读到一个条件，立刻进行知识前后关联，进行发散并迅速组成知识网络。第一问，条件“SSA”不能证出全等，卢老师通过添加边或角来引导其用“SAS”“AAS”“ASA”构造出可以证明全等的三角形的条件，从而使问题迎难而解。

其次，注重探究过程和数学思想方法的逐步渗透，层层递进。原图线条并不是太多，但在第二问中要猜想出BF+CF=2CN确实不容易。卢老师采用由特殊到一般的思维方法，用度量的方法先直观感受，再猜想线段之间的关系，再去验证，探究过程脉络清晰。第一种方法用截长补短和倍长中线法构造全等，及构造平行四边形来解决问题。第二种方法中隐藏着G、A、R三点是否共线的“坑”，但都逐个突破。

再次，善于进行系统性地概括归纳，发现其规律性，形成统一的模型。第三问作图十分复杂，完成作图后还要在其中探索最短问题、线段比值问题，对学生的分析能力、解决问题能力就要求较高。中考中求线段最大值、最小值问题知识覆盖面广，综合性强。若在学习中将这些相似的、存在联系的题目及解决方法进行归纳总结，就有助于帮助其梳理思维。比如：“垂线段最短”“将军饮马问题”等等。理解和掌握通法，才是解完题后应该学会的东西。

最后，感谢张钦博士给我们提供的宝贵学习平台，感谢卢老师的精彩研题！教研之路，永无止境，今后要继续不断学习，不断提升自我！

个人感言

“千磨万击还坚劲，任尔东西南北风”。研题的过程就像竹子经历风雨的洗刷后，依然顽强执着。

研题的第一步是选题，选什么样的题目比较难。我首先选择了自己比较擅长类型的题目，结果审核时没有通过。于是我挑了一个最不擅长的题目，希望通过对这道题目的研究使不擅长问题变成擅长的问题。事实证明这个想法是可行的。第二步探究题目，题目难度比较高，结果探究过程更难。这道题目属于几何和代数的综合题。第一问的起点就比较高，考查三角形全等的判定，SSA不一定能证明两个三角形全等，如何转化使得三角形全等，同时也渗透从特殊到一般的思想，以及截长补短的方法。第二问考查三角形中不相连线段中的数量关系，运用到倍长中线，中位线，图形的变化旋转，以及四点共圆等相关知识。第三问考查作图能力，动点最值问题，三角函数等相关知识。本题从这几个点重点考查了学生图形识别，辨析，作图能力以及数形结合，模型等思想。我从每天思考这道题的解法，得出一种解法后思考还有没有别的解法，与教材内容有怎样的联系，以及对教学中有怎么的启示。最让我犯难的是第三问，因为我本身对最值问题不擅长，所以看着题目我无从下手。于是我决定把初中阶段所有类型的动点最值问题查出来，然后逐个分析，各个击破。最后终于理清了这道题的解法。那么将这些研究的问题转化对我们教学有帮助的内容才是重点。这个问题我思考了许久，百思不得其解，最终通过与其他老师交流终于找到突破口。当我终于松了口气时，PPT制作却花费了大量的时间。研题的过程真是痛并快乐着！

本次研题我收获满满：（1）要读懂教材，理解教材内容，教学过程中给学生传递数学的基本知识和基本技能。（2）要读透教材，教学中不仅要关注基本知识和基本技能，更注重思想方法以及基本活动经验的渗透。（3）要读深教材，注重初高中知识的衔接，让学生的知识形成体系。（4）读广教材，了解知识间的关联，形成项目式的学习，从而提升学生探究热情，开阔学生的视野。

感谢张钦博士搭建这个线上研题平台，感谢兴山县初中数学教研员黄海涛的鼓励和指导，感谢黄毅老师和袁晓芹老师的指导，感谢刘家付老师，高飞老师，郭春艳老师的精彩点评，感谢我们昭君中学的数学组教师的支持与帮助，是你们让我在前进的路上更有动力。

路虽远，行则将至；事虽难，做则必成！本次研题让我更加坚定探究数学教学的信心！

卢卉芳老师简介

卢卉芳，兴山县昭君镇初级中学教师，宜昌市初中数学“1+1+N”成员，兴山县初中数学学科工作室成员，曾获得湖北好课堂二等奖，湖北省精品课三等奖，宜昌市初中数学展评课一等奖等多项奖励。主张快乐学习，充分尊重学生个性，让数学课堂更加生动活泼！