压轴题研题活动第88场2022年南通第25题

精彩点评一

认真学习了苏老师对2022年江苏省南通市中考数学第25题的解题研究，让我收获颇丰，受益匪浅。本题是一道几何综合题，以矩形为基本图形，融入了旋转变换，考查了三角形全等、三角形相似、三角函数、勾股定理等知识。题设三小问，由易到难、层层深入、环环相扣，解题方法多样，考查了学生对知识灵活运用的能力。苏老师以此题为例，深挖问题本质，提供了精彩纷呈的解法，值得我学习。

本题的第一小问较简单，学生容易上手，通过三角形全等、三角函数可以证明线段相等。

第二小问，由于点E的位置不确定，我们需要分类讨论，根据三角形全等、三角函数、勾股定理、解直角三角形求出CF的长。当点E在CD上时，苏老师从动态的角度分析，将线段的旋转问题转化为三角形的旋转问题；抓住∠FAC＝45°特殊角，化繁为简；引导学生发现△AFC已知两边及夹角，求第三边。

在本题的第三小问，苏老师深挖问题本质，渗透模型思想，第三小问是一个动点问题，也是本题的难点，我们需要分类讨论，苏老师从多个角度剖析，抓住点E在运动过程中，不变的量和不变的关系，借助相似和三角函数求线段长。当点E在CD上时，苏老师分析全等和旋转的解法发现F的运动轨迹都为一条线段，也就是从动点F和主动点E的运动轨迹相同，引出“瓜豆原理”。苏老师从旋转的本质帮助学生理解“瓜豆原理”，从宏观和微观的角度解释，让学生直观感受瓜豆原理的本质，让学生学会带着动态的视角去观察静态的图形，进一步优化解法。反思平时的教学，学生为何看到题目联想不到我们所学的知识，是否是因为概念教学过快，而使学生没有从本质上理解基本概念、基本知识？让我更深刻的是苏老师从转化的角度，将研究从动点F的过程转化为研究主动点E的过程，将研究DF长的问题转化研究D’E的长，使复杂的问题简单化。

苏老师在研题过程中始终从学生的认知水平，易错点出发，善于分析学生的思维难点，逐个击破，提升学生的思维能力。

苏老师在教学反思中，通过解读新课标和教材要求、具体课例研究，让我对锐角三角函数和旋转有了更深的认识和思考，进一步体会到了数学中转化思想的重要性。

非常感谢苏老师精彩的研题，感谢张钦博士搭建的平台，让我跟着优秀的老师们一起学习，不断提高自己的专业水平，不断成长，成为更好的自己。

精彩点评二

认真学习了宜昌市第六中学苏畅老师的精彩讲题，受益匪浅。2022年江苏省南通市中考第25题是一道以四边形（矩形）为基本图形几何综合题。融入了几何变换（旋转），考查了三角形全等、三角形相似、三角函数、勾股定理等初中阶段核心知识，解题时切入口丰富，方法多样，特别是后面的双动点加旋转很好地考查了学生对知识灵活运用的能力。

第一问起点较低，经典题型求两线段相等，学生利用全等三角形非常快就能证明，交叉角的应用，以及旋转性质的应用就能迅速解题，常规常法，很好的考察了学生的基本功。

在第二问中，题目要求CF的长。求线段长常用的方法是将线段放在三角形中，借助全等、相似、三角函数、勾股定理、解直角三角形等工具求解。本题由于点E的运动范围不定，需要分类讨论，在研究每种情况时要先根据条件画出对应的图形，找到CF所在的三角形。苏老师通过分析发现直接在△ACF中解决问题是最直接的，画出每种情况对应的图形后，发现CF所在的△ACF是两边及夹角已知（已知角的三角函数值则角度可确定）的三角形，通过作垂线构造直角三角形、解直角三角形的方法可以顺利求出CF。从而使复杂的思考过程变得很清晰，我找了几个学生做了之后，学生解题并没有那么顺利。究其原因主要有二：一是受第一问的思路提示引导，容易想到作垂线的方法构造全等三角形；二是作图能力不够，当又要分类，又要旋转就使得学生作图变得困难，图做不好，那后面的自然不用谈，所以给我的启示，平时教学还需要加强作图能力的培养，特别是经常作图都是草图，老师还好，学生不加强训练，做出的草图反而使题目变得更难解。然后就是当点E在CD上时，苏老师还提到旋转变换的思想方法，方法也很巧妙，这种很考察学生的综合能力，大部分学生求边更多的还是想到解直角三角形的方法，所以启示我们平时教学需要渗透方法的多样性。

第三问由双动点引发的最值问题，思考难度较大，苏老师带来了独特的“瓜豆原理”，并利用实例形象的向我们介绍了什么是“瓜豆原理”，就是在主从联动问题中，若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。主动点叫做瓜，从动点叫做豆，瓜在直线上运动，豆的运动轨迹也是直线。瓜在圆周上运动，豆的运动轨迹也是圆，即种“直线”得直线，种“圆”得圆。听了之后，让我豁然开朗，此问对于学生来说，双动点，又是旋转，还要求新构成线段DF的最值，让人看完感觉摸不着头脑，图形变化感觉很复杂，苏老师经过耐心的引导，以静制动—变中抓不变，拨开云雾，题目就能迎刃而解，若学生能知道这个原理，那在做题过程中要少走很多弯路，此问对我启示很大，还是要去多学习，特别是“瓜豆原理”让我印象深刻，从动点轨迹一定与主动点轨迹形状相同，在长度上，从动点路径长/主动点路径长=定比；位置上，从动点轨迹由主动点轨迹绕定点旋转定角，或按定比缩放得来，或两者兼而有之。后面又通过具体的实例进行讲解，确实非常受教，又学习了一个解题思路。

最后苏老师对初中阶段的旋转教学进行了反思，这也是我要学习的，几何旋转对于学生来说本来就是一难点，比平移，翻折更难理解，所以在平时的教学中要对几何变换再挖掘，透过题目看本质，然后简单说一下解题模型，解题模型在本题中的作用是帮助学生快速找到发散条件，并能指明道路，例我们在平时的教学过程中，正需要引导学生去认知这些本质属性，利用它们来解决问题，模型的归纳不过是这个过程中的附属产品，这个顺序不能错。

再次感谢苏老师的研题，给了我们很多启发和学习的方向，在今后的数学教学中，我一定多学习苏老师这种刻苦钻研，认真思考的精神，让自己一步一步的成长为更优秀的数学老师，最后还要感谢张钦博士为我们提供了这个互相学习的平台，能让我们对初中数学时刻保持热爱。

精彩点评三

学习了市六中苏畅老师对2022年江苏省南通市中考第25题的研究与分析，感悟颇深，尤其是教学启示部分让人回味无穷，苏老师对教材和课标的深入挖掘和研究让我感受到了很多实效性的思考和启发。

2022年南通市中考第25题是一道几何压轴题，由易到难、层层递进，这道题在以矩形为基本图形的背景下，考察了学生对全等三角形、相似三角形、三角函数、勾股定理、图形的旋转变换等知识点的应用能力。第一问较为简单，但它的结论也是解决后两问的一个重要线索。第二问开始难度逐渐上升，涉及到学生自主画图和分类讨论，在这一问中当点E在线段CD上运动时，点F的位置会落在边AD的左侧还是右侧？这可能会是学生在画图中出现的一个障碍，一旦对图形旋转的本质或者三角函数值和角度大小之间对应的关系理解不清容易画错。这一问的两种情况考察知识点的本质其实一样，根据已知条件构造直角三角形然后解直角三角形，这就需要学生能够在复杂的图形中根据已知条件迅速锁定目标△ACF，抽象出这个基本图形问题即可得到解决，苏老师针对学生出错的各种原因进行了详细的分析，为什么学生会出现这些问题？同时思考了在我们今后的教学过程中老师要注意如何引导学生分析题目条件如何有效的将它和所学的知识点关联起来，回想自己在平时的教学过程中，这一点思考得确实不够，得向苏老师学习。本题第三问考察了动点的轨迹问题，这在近几年各个地方压轴题中很常见的考点，这种题型往往也让很多学生无法下笔。解决这类问题的关键是先确定动点轨迹的形状，初中阶段一般是直线型和圆型轨迹，然后再通过计算确定动点运动轨迹的大小。让学生在有效的时间在脑海里呈现出由一个点的运动带动整个图形的变化这个动态的过程确实很难，如何突破这个难点呢？苏老师在分析过程中紧扣图形在变化的过程中不变的量和变化的量，以静制动，这个过程对学生灵活运用各种几何知识的综合能力要求较高，命题者这样的设计，将这三个小问题将设涉及到的知识点都巧妙的关联了起来，设置了阶梯难度，试题有着明显的区分度，具备很好的选拔功效。在解法探究最后，苏老师对瓜豆原理这个数学模型从多个角度进行了推理证明，主张让学生知其然更要知其所以然，其实我在上次研题的过程中也对瓜豆原理进行了分析和讲解，自认为还是没有苏老师研究得那么深入和透彻，深深的被苏老师爱学习、爱研究以及他严谨的教学风格所折服。

通过此次研题，感受到了苏老师的博学和钻研精神，在教学启示中，苏老师始终坚持以学生为本，以新课标理念为指导去研究教材、研究教法、研究学生，给了我们广大一线教师很好的示范。最后感谢苏老师的分享，感谢张钦博士提供的平台，让我们能够能够有机会享受这样一场场视觉盛宴！

精彩点评四

学习了苏老师的研题，细致入微的讲解让人印象深刻，受益匪浅。苏老师对解题过程的讲解，一环扣一环，层层递进，思路之清晰，每一种方法的呈现都有理有据，自然流畅，如果作为学生，也能跟随这种有序的思维过程慢慢体会感悟，理清解题的脉络和思路。

除此之外，对由这道题引申出的一些方法归纳，特别是对“瓜豆原理”的探究，苏老师对现象背后的本质挖掘让我叹服，从点的运动，到几何图形变换，殊途同归，挖掘出图形变换的本质，分析透彻。又结合等腰三角形、线段以及回到所讲解的题目，将理论用于实践，让听众对“瓜豆原理”理解更加深刻。

对于苏老师所讲的转化思想，将求旋转后的线段最值问题转化为“旋转前”的线段最值，使得本题的解法化繁为简，妙趣横生，也能借此数学思想思考解决一类问题的方法，触类旁通，引人深思。

苏老师的三点教学启示，贴合教学实际，很有针对性，听完之后很有启发。第一点锐角三角函数的“函数味儿”，确实是学生理解起来很困难的一个点，其中的函数概念是学生本就不熟悉的，初中是第一次接触“函数”，所以在理解这个概念时有困难，要形成函数思想更不容易，再到三角函数，“sin”、“cos”、“tan”这几个没见过的符号又会打倒一大波学生。因此对于函数概念和三角函数的几何意义的教学就显得尤为重要，对初中生来说，抽象能力弱，因此在课上举大量的例子能够帮助学生理解概念的含义。

第二点基于回归概念的几何变换教学中的再挖掘，从宏观与微观，静态与动态等多重视角看待图形的旋转，在多个概念间建立联系，可以加深学生对不同概念的理解和记忆，并搭建知识网络，灵活处理图形的几何变换问题。

第三点是以七上内容为例的转化思想在教学中的渗透，如在代数运算法则的探究过程中将陌生问题熟悉化，在式的运算探究过程中将一般问题特殊化，在数与形问题中相互转化等。培养学生的转化思想，不仅可以提高学生的思维能力，优化解答过程，还能够用来解决实际问题，这也是学习数学的目的和意义所在。

苏老师的研题之深，讲解之细，值得我学习，在今后的教学中，要多思考数学概念的本质、解题方法的来龙去脉，才能更好地引导学生。他山之石，可以攻玉。感谢张钦博士搭建的研题平台，让我可以学到其他老师的教学经验，来弥补自己的不足，不断充实自己！

精彩点评五

由于苏老师的选题，我认真学习了2022年南通市中考数学第25题，也认真聆听了苏老师的讲解，收获颇多。 本题以四边形（矩形）为基本图形，融入了线段的旋转，考查了矩形的性质、三角形全等的性质及判定、三角形相似的性质及判定、勾股定理、解直角三角形，解决本题的关键是各种性质的综合应用。

本题条件简洁，图形美观，梯级设问，层层递进，为学生解决问题提供路劲。本题有这样几个特点：

内容基础性与试题创新性。试题基础性一是体现在源于教材中的“矩形”，并且两边长分别为3和4，是一组勾股数，学生熟悉的素材容易上手；二是试题立足基础知识与基本方法，如第一问就是常见的“AAS”证全等。创新性体现在试题图形特征、结论要求与解题方法3个方面.从图形上看，“点E在折现BCD上运动”是一条明显，而F在另一条折现上运动是暗线，第（3）问在“一明一暗”中解决问题。

问题的探究性与指向本真性。“数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式”。本题具有较强的探究性，从第（2）问开始，要分点E在线段BC或DC上，从分类角度考查学生思维的严谨性，同时也为第三问解决做铺垫。尽管试题的探究味道浓厚，但最终只想本真，关注数学的本质。第三问虽然是求最小值，但无需复杂运算，关键是探究最小值存在“直线外一点到已知直线的所有连线中，垂线段最短”。正如波利亚所说的“回到定义”，这种方法反映了数学本质，体现了问题指向的本真性。

苏老师对本题的研究给我研题做了一个示范，他不是为解题而解题，他跳出本题而研究数学。有这样几个特点：

立足数学基础，关注数学本质。苏老师在解法探究中突破概念本质，顺应思维需求。重讲本题所涉及的不变的东西“瓜豆原理”，并讲应用条件及方法，突出本质东西，并强化“通性通法。许多数学问题的解决无需特殊技巧与技能，而是从基本概念与原理出发，追溯问题本源，追寻数学本质，所谓”技巧、特法“是掌握基本方法后的顿悟。苏老师在此做了很好的引领。

归纳方法思想，顺应素养的进阶。授之以鱼不如授之以渔，授之以渔更需与之共渔、与之思渔。在试题评讲课中，我们发现很多学生存在“听得懂做不来”的现象，这实质上学生没有明白解题方法中的来龙去脉，这就要求我们注重归纳方法与思想，并在反思与总结中提升学生审题能力、促进学生数学素养的提升。苏老师在研题中用很大篇幅归纳方法，结合教材与“课标”探究“教什么”“怎么教”和“教会什么”的问题，并把着力点落在学法指导和能力培养上，并以培养学生核心素养和发展学生能力为宗旨。这也正是我们研题人所追求的。

个人感言

2022年江苏省南通市中考数学第25题是一道以矩形为基本图形，融入旋转变换、双动点的几何压轴题。题目重点考查了三角形全等、三角形相似、三角函数、勾股定理等初中阶段的核心知识。题目语言及图形简洁，研究的问题层层递进，从最基础的证明线段相等，到常规的求线段长，再到研究主从联动背景下线段最值，可谓环环相扣，一步步为学生的思维铺路，很好地考查了学生直观想象、逻辑推理等核心素养。

第一问以证明线段相等为入口，利用旋转性质得到相关线段和角相等，即可快速找到全等三角形从而解决问题。第一问研究的是E在BC上这种特殊情况，完成起来难度不大，但用到的全等方法却是打开后面（2）（3）问的金钥匙，命题者在题目的入口处就给了学生一把梯子，方便学生后续思维的展开。

第二问要求线段长度，常规常法是将线段放在三角形中解决问题，借助三角形全等、相似、三角函数、勾股定理等工具求解。此问难度升级有二：一是点E位置的不确定带来分类讨论；二是需要学生先自主画出E在CD上时对应的图形再分析推理。不论哪种情况，都可以借助（1）中的全等完成求解。除了这种方法，还可以将线段放在三角形中，把线段的旋转转化为三角形的旋转来研究，这样可以找到更加丰富的边角关系，从而找到特殊角、特殊图形等。还可以通过观察发现CF所在的△ACF是两边及夹角已知的三角形，故可以借助解直角三角形的方法求解。在学生的解答中，并没有发现直接在△ACF中解题的解法，经过与学生的交流，发现他们并没有意识到夹角∠FAC是一个定角。于是我从这个问题为切入点展开，反思为何学生没有敏锐地将角的三角函数值与角的大小之间的对应关系联系起来，这说明学生在学习锐角三角函数这部分内容时，没有很好地体会到其中蕴含的“函数特征”，教师可以从八下课本“函数”概念入手，关联九下课本中关于“正弦函数”“余弦函数”“正切函数”的定义，借助单位圆帮助学生认识到三角函数中的这层“对应关系”，从而让学生体会到锐角大小是自变量，对边和斜边的比（正弦函数）是锐角大小的函数。由此不难继续追问思考：反过来，当比值一定时，锐角大小是否也唯一确定呢？学生可以继续借助单位圆思考得出肯定的答案。这样学生就建立了锐角大小同边的比值之间的关联，对于图形特征的把握更进一层，对于“定角”的理解不再只停留在特殊角，而是能拓展为三角函数值为定值的角，这能够帮助他们更加敏锐地捕捉和运用题中与角有关的条件。

第三问是本题的难点所在，要求学生在主从联动背景下研究动线段最小值。就学生答题情况来看，此问难度较大，很多学生难以动笔；而在动笔的学生中，较多认为当A、D、F三点共线时有DF的最小值。此种错误想法产生的原因是在“两定一动”背景和惯性思维引导下误认为三点共线时取最值，却没有注意到此题中AF、DF的长随着点F的运动都在发生变化，由于D为定点，故应该先研究动点F的运动轨迹，再分析DF何时取最值。那么点F的运动轨迹是什么？如何在脑海中构建动态过程？这是初中阶段动态几何研究过程中学生遇到的难点之一，解决方案应该是“以静制动”，即在变化过程中寻找不变量和不变关系，依托这些“不变”去解决“变”的问题。于是第（1）问的梯子再次发挥作用，借助第（1）问的全等，我们容易发现在运动过程中有一对三角形始终是全等关系，继而抓住不变的关系推理得出更多的不变量，如动点到定直线的距离始终不变，即可得出动点的运动轨迹，从而展开后续研究。由一组全等生发出证明线段相等、求线段长度、研究动线段最值等多个问题，对思维能力的考察逐步提升，命题者的匠心可见一斑。

除了“以静制动”的基本策略外，在本问中还可以运用“瓜豆原理”得出从动点F和主动点E的运动轨迹类型相同。“瓜豆原理”，是老师们根据问题的条件与结论呈现出“种瓜得瓜，种豆得豆”的特征而形象地给予这一类问题的叫法，在一些微信公众号文章中将其总结为一个模型，给出了结论，但很少能将其中的原理解释得透彻的。借这次研题的机会，我查阅了一些论文，也在网络上搜索了一些微课资源，尝试从旋转概念及性质的角度对“瓜豆原理”进行了剖析，从宏观与微观、静态与动态相结合的角度认识到“瓜豆原理”的本质其实就是“几何变换”，掌握了“几何变换”的本质，也就能理解“瓜豆原理”的结论。这指导我在常规教学中，尤其是几何模型教学中，不要求快直接教模型结论，而应该从最本源的知识出发，循序渐进，给学生思考、体会、自主构建的时间，要让学生知其然，更能知其所以然。

还能如何思考？不妨这样引导学生：既然从动点F的轨迹不易研究，那能否将研究从动点F轨迹的问题转化为研究主动点E运动轨迹的问题。我们可以找到DF所在的△ADF，利用前面旋转三角形的经验，将△ADF绕点A反向旋转（逆时针旋转，旋转角等于∠BAC），这样借助“手拉手”模型找到全等三角形，得出DF=D’E，这样研究DF最小值的问题就转化为了研究D’E最小值的问题。其中D’是由定点D绕定点A逆时针旋转确定角度得到，因而也是定点，而点E是主动点，运动轨迹题中已经给出，不难利用“垂线段最短”可以找到D’E何时取最小值。

本次研题过程历时两个月，从寒假前的报名选题，到寒假期间读课标、看教材、研解法、学论文，再到开学后找学生试做，研究学生的思路和遇到的困难等，每推进一步，就越明显地感受到自己在对本题理解不断深入的同时，对如何教学、如何帮助学生提升思维也有了新的感悟。感谢张钦博士搭建的研题平台，让我有机会能和众多爱好研题的老师们探讨交流，不仅打开了我的解题思路，更能让我以压轴题为载体不断深入反思我的常规教学；感谢叶先玖老师、黄毅老师提供的新思路，让我能够跳出已有的思维，从不同的角度去理解本题带来的价值；感谢六中李贤莉老师、李玲老师及全体数学组同仁们提供的宝贵建议与大力支持，感谢黄新校长、张晓贤老师、孙涛老师、刘莹老师、刘梦倩老师的精彩点评，让我对本题和教学又有了新的思考。未来，继续与各位同行，期待在不断的交流、碰撞、反思中行稳致远！

苏畅老师简介

苏畅，中共党员，华中师范大学教育硕士，宜昌市第六中学数学教师、班主任。宜昌市e教能手，宜昌市卓越教育人才培养“千人计划”成员，伍家岗区是海松名师工作室成员，伍家岗区初中数学学科中心教研组成员。曾获基础教育精品课省级一等精品课，宜昌市初中教师岗位大练兵五项全能一等奖第一名等。教育理念：用热爱培养热爱，用真诚感受真诚，用思维唤醒思维。