狄拉克方程：量子力学与狭义相对论的第一次融合

在现代物理学里，狄拉克方程是一个无法忽视的存在，因为它开辟了一个新的领域，叫相对论性量子力学，是量子力学与狭义相对论的第一次融合，狄拉克方程还预言了反物质的存在，促进了粒子物理、高能物理的发展，并且为电磁理论发展到量子电动力学做出了重要的贡献。还为建立量子场论奠定了基础。可以说是物理学中无法忽视的一个公式。

我们知道，20世纪科学界最璀璨的两颗双子星，无异于就是量子力学与相对论，而爱因斯坦与玻尔的四次大论战让量子力学与相对论碰撞出了激烈的火花。

玻尔和爱因斯坦

我们简单回顾一下双方阵营，量子力学这边是以哥本哈根学派老大玻尔为首，包括了海森堡、泡利等人，而爱因斯坦这边的支持者就包括德布罗意、薛定谔等人。

比较好玩的是，无论是爱因斯坦、德布罗意还是薛定谔都在有意无意中对量子力学的发展做出了卓越的贡献。

玻尔“哥本哈根派”

爱因斯坦一派

在量子力学刚刚建立之初，1913年，哥本哈根学派的掌门人波尔( Bohr ) , 克莱默（ Kramers )还有斯雷特( Slater )曾经发表了一个 BKS 理论提出 "波子" 及 "机率波" 模型，尝试说明光的二重性，并用统计方法重新解释能量及质量守恒。

玻尔

可惜这个 BKS 理论大错特错，而在其中玻尔提出的氢原子理论虽然引用了普朗克的量子化概念,却没有跳出经典力学的范围。而电子的运动并不遵循经典物理学的力学定律，而是具有微观粒子所特有的规律性——波粒二象性，这种特殊的规律性是玻尔在当时还没有认到的。

而玻尔的支持者海森堡则意识到，在当时物理学的研究对象应该只是能够被观察到被实践到的事物，物理学只能从这些东西出发，而不是建立在观察不到或者纯粹是推论的事物上。也就是物理学的研究领域还只处于宏观领域，而不涉及微光领域。

海森堡决定将自己的研究深入到微观领域，从而提出了矩阵力学，认为电子是量子化的，像粒子一样在不同轨道上跃迁。

那个时候，为了反击海森堡，1926年，薛定谔从经典力学的哈密顿-雅可比方程（使用分析力学中求解动力学问题的一个方程）出发，利用变分法（一种求解边界值问题的方法）和德布罗意方程，最后求出了一个非相对论的方程，用希腊字母ψ来=代表波的函数，最终形式是：

这就是名震 20 世纪物理史的薛定谔波动方程。认为电子是一种波，就像云彩一般（电子云说法的由来），放大来看后，就好像在空间里融化开来，变成无数振动的叠加，平常表现出量子的状态，是因为它蜷缩的太过厉害，看起来就像一个小球。函数ψ就是电子电荷在空间中的实际分布。

薛定谔方程

薛定谔方程的诞生首先就论证了氢原子的离散能量谱。在玻尔的原子模型中，电子被限制在某些能量级上，薛定谔将他的方程用于氢原子，发现他的解精确地重现了玻尔的能量级。堪称是对量子力学发展的神助攻～

薛定谔方程可以说在物理史上具有极伟大的意义，被誉为“十大经典公式”之一，是世界原子物理学文献中应用最广泛、影响最大的公式。他本意是为了反击海森堡的，然而这个公式却成为量子力学最基本的方程之一。

而量子力学的核心方程就是薛定谔方程，它就好比是牛顿第二定律在经典力学中的位置。正是基于薛定谔方程的建立，之后才有了关于量子力学的诠释，波函数坍缩，量子纠缠，多重世界等等的激烈讨论。

在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。

它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具，在原子、分子、固体物理、核物理、化学等领域中被广泛应用。

后来玻恩更是提出概率幅的概念，成功地解释了薛定谔方程中波函数的物理意义。可是，薛定谔本人不赞同这种统计或概率方法，和它所伴随的非连续性波函数坍缩。薛定谔更加无法容忍，自己提出的薛定谔方程居然为量子力学做了嫁衣。

玻恩

正因为薛定谔波动方程不具有相对性，所以瑞典理论物理学家奥斯卡·克莱因和德国人沃尔特·戈登于二十世纪二、三十年代分别独立推导出薛定谔波动方程的相对论形式来解释用于描述自旋为零的自由粒子：

克莱因-戈登方程是一个具有相对论性的波动方程，然而它并不能计算氢原子，且一直被负能态和负几率所困扰。

因为从薛定谔方程出发可以得到连续性方程

其中几率流密度

几率密度

。从克莱因-戈登方程出发也可以得到一个连续性方程

其中

的形式与

相同，但此时

并不为

而为

若把

仍然解释为几率密度，则发现

可能为负值，即出现负几率。但是几率不可能为负，这个应该很好理解吧，你做一件事情的几率最多为 0，不可能是负数的。

原子的能量是量子化的，当原子处于不同的定态时，具有不同的能量值，其数值的高低象一级一级的阶梯一样，形成分立的序列。这种阶梯状的能量数值，被称为原子的能级。为形象地描述原子的能量状态，常以一定高度的一条水平线代表一个能量值，按能量大小排列起来，构成原子的能级图。处于负能级上的电子就称为处于负能态，其能量为负。

但是当时负能态的概念还没有被大家所接受，因为在当时还没有办法解释。所以克莱因-戈登方程出来的负几率和负能态一直被物理学家质疑。

这个时候，狄拉克出现了解决了这些问题，狄拉克想既然量子力学、海森堡矩阵力学、薛定谔波动方程都没有方法说明这个情况，那我就把三者融为一体，由此诞生了狄拉克方程。

狄拉克方程不仅能够计算氢原子光谱的精细结构，还可以自动产生电子的自旋量子数，并且狄拉克方程为了解释负能态，还提出了狄拉克之海。

因为狄拉克方程可解出自由电子的负能态，按能量最低原理，物质世界的电子都应跃迁到负能级上，由于电子是费米子，满足泡利不相容原理，每一个状态最多只能容纳一个电子，物理上的真空状态实际上是所有负能态都已填满电子，同时正能态中没有电子的状态。因为这时任何一个电子都不可能找到能量更低的还没有填入电子的能量状态，也就不可能跳到更低的能量状态而释放出能量，也就是说不能输出任何信号，这正是真空所具有的物理性质。物质世界就像是浸没在负能级电子的海洋中，这就是狄拉克之海。

按照这个理论，如果把一个电子从某一个负能状态激发到一个正能状态上去，需要从外界输入至少两倍于电子静止能量的能量。这表现为可以看到一个正能状态的电子和一个负能状态的空穴。这个正能状态的电子带电荷-e，所具有的能量相当于或大于一个电子的静止能量。按照电荷守恒定律和能量守恒定律的要求，这个负能状态的空穴应该表现为一个带电荷为+e的粒子，这个粒子所具有的能量应当相当于或大于一个电子的静止能量。这个粒子的运动行为是一个带正电荷的“电子”，即正电子。狄拉克方程预言了正电子的存在。狄拉克之海也是对正电子存在的描述。

狄拉克之海

简言之就是，这个宇宙起初是由无数物质(电子)和反物质(正电子)构成的，物质和反物质的湮灭 产生的无数的正负电子对就是所谓的迪拉克之海，也就是构成这个世界的基础。宇宙中物质多过反物质，所以未湮灭的物质构成了我们现在生活的这个世界。尽管这些粒子是不可观察的，但它们决不是虚幻的，如果用足够的能量就可以形成，哪里有物质，哪里就有迪拉克之海，想象观察到的宇宙就好像漂浮在其表面上。

狄拉克方程不带矛盾地同时遵守了量子力学和相对论的原理，它的带有自旋- 1/2 的自由粒子的狄拉克方程的形式如下：

其中m是自旋- 1/2 粒子的质量， x与t 分别是空间和时间的坐标。狄拉克方程因为预言了反粒子的存在，所以狄拉克方程用来描述狄拉克费米子，狄拉克费米子是反粒子与自身不同的费米子。绝大多数粒子因为反粒子与自身不同，而属于狄拉克费米子，粒子物理学中除中微子外，标准模型中的所有费米子都是狄拉克费米子。

狄拉克方程的提出为量子场论奠定了基础，量子场论的建立基于经典场论，狭义相对论和量子力学。可以说量子场论的出现为统一量子力学与相对论提供了可能性。

1930 年，年仅 28 岁赵忠尧在人类史上第一次从实验上看到了正负电子对产生和湮灭的过程，而这是世界上最早发现的正电子存在的证据，可惜后来身为赵忠尧好朋友的安德森借鉴了赵忠尧的实验原理，在 1932 年也发现了正电子，由此获得了 1936 年诺贝尔奖。

正电子的被发现更加证明了狄拉克方程的正确性，粒子物理得到了完善。基本粒子如今可以分为组成物质的费米子以及传递力的玻色子。

传递力的（规范)玻色子有四种:1传递电磁力的光子、2传递引力的引力子、3传递核强力的胶子、4传递弱力的玻色子,最后还有一种赋予所有粒子质量的希格斯玻色子（上帝粒子）。物质宇宙就是由上述这些物质性的费米子以及传递力的玻色子所构成。

而费米子是依随费米-狄拉克统计（ 是统计力学中描述由大量满足泡利不相容原理的费米子 组成的系统中粒子分处不同量子态的统计规律）、角动量的自旋量子数为半奇数（1/2，3/2…）的粒子。费米子遵从泡利不相容原理，即不能两个以上的费米子出现在相同的量子态中。根据标准理论，费米子均是由一批基本费米子构成的，而基本费米子则不可能分解为更细小的粒子。基本费米子分为2类：夸克和轻子。而这2类基本费米子，又分为合共24种味（属性）：

· 12种夸克：包括上夸克 （u）、下夸克 （d）、奇夸克 （s）、粲夸克 （c）、底夸克 （b）、顶夸克 （t），及它们对应的6种反粒子。
· 12种轻子：包括电子 （e-）、μ子 （μ-）、陶子 （τ-）、电中微子（νe）、缈中微子（νμ）、陶中微子（ντ），及对应的6种反粒子。

简而言之，狄拉克方程汇集了现代物理学的两大基石：量子力学和相对论——描述微观粒子的量子力学和描述高速运动物体特征的狭义相对论。

狄拉克方程预言了反物质的存在，更是成为了如今物理学界不断奋斗想要顽强解决的伟大目标，2017年7月21日，何庆林、寇煦丰、张首晟、王康隆宣布找到了正反同体的“天体例子”——马约拉那费米子，从而结束了国际物理学界对这一神秘粒子长达80年的漫长追寻，是物理学领域的重大突破。而这也不过是在验证狄拉克方程中做出的伟大预言：宇宙每一个基本费米粒子必然有相对应的反粒子。

（其中张首晟太可惜了，被全球物理学界认为诺贝尔奖只是时间问题，却不知因何缘故而去世）