压轴题研题活动第74场2022年无锡第28题

精彩点评一

胡老师讲解的2022年江苏省无锡市中考数学28题是一道二次函数综合题，胡老师从两个方面进行了详细的讲解，注重了数与形的结合，在听完胡老师的讲解后，我很有收获.

【注重常规解法】

胡老师选题很经典，全题中反复用到了一线三垂直这一基本模型，让学生很容易进入状态，本题以常规解法为主，步步为营。方法线非常清晰，在含有45°的直角三角形存在性问题中，以构造一线三垂直模型为主。第问题中，使用全等加三角函数进行了求解，未知点以一个未知数为主去表示。第三问中，也是构造出基本模型，演化点的坐标，做到了解法的一致性，对于学生接受这一知识点形成了非常好的连贯性作用。让常规常法根植于学生胸间，练好计算基本功，达到破题的功效。对于第三问，一元三次方程的降次对于学生是一个难点，也在课标的考察范围之外，对于学有余力的学生可以进行讲解。多数学生在碰到这个难题后，会打起退堂鼓。

【注重数形结合】

胡老师对于2、3两问都进行了两种方式的解答，而且第三问关于画图的解法更容易让学生接受，从存在到分析，每一种情况都分析得非常透彻。在反思环节，我更是收获颇丰，胡老师提到要在课堂中，重视数学基本思想渗透，要深化到基本思想方法的考察。也提出了对于计算量较大的大题的担忧。我的建议是在八下教学时，就加大整式的乘法与因式分解的教学难度，与压轴题中出现的大计算进行结合教学，是否能有一个好的效果呢？值得与大家探讨。胡老师反思中提到，经理、体验、感悟、探索四个环节，也给出了三垂直基本图形在授课中的案例。课堂中非常注意学生的动手与参与，我想，作为胡老师的学生一定时幸福的。

【一点建议】

在讲解计算量复杂的压轴题时，对于复杂的因式分解、根的求解或者不等式的计算要讲的非常细节，同时也要有层次感，不能直接给出答案。张博士在会议上提到，代数教学时，也有代数逻辑推理，可能会给这一难题带来新的方向。

最后，再次感谢张博士为我们搭建的学习平台，感谢胡老师的辛苦付出为我们呈现优秀的解题案例.

精彩点评二

学习了胡老师讲解的2021年江苏无锡中考第28题后，我受益良多，感触颇深，分享如下：

第（1）问若学生不仔细读题非常容易看成抛物线经过点（1,0），导致从第一问开始就求错解析式，后面（2）、（3）问有能力做出来的同学就会因为第（1）问的失误大面积丢分，所以一方面是仔细读题，圈点重要条件、信息；另一方面是基本的数据观念、数感，回头核查的习惯值得我们数学教师在日常的数学教学中渗透和培养，师生一起做个细致严谨的数学人。

第（2）问首先是要依据题意画出图形。分析题意：C、D是两个定点，动点D（规定D在抛物线上且在点C右边），学生在构思画图方面会感觉熟悉又轻松，一是图形易画，显然不需要分类讨论；二是能够很明显的感觉到一线三垂直模型，与平时的训练题似曾相识，接下来的解题方法无论是相似、一次函数解析法还是勾股定理学生都能够轻松驾驭。

第（3）问这样的C点当然存在，而且不止一个。学生一是要做到在完成（2）问的基础上理解（3）问的本质是要寻找点C，使得△ACD为等腰直角三角形，这是学生首先需要完成的：理解题意并转译出问题的实质及核心。接下来思考C点会在哪些地方，该怎样求？在胡老师的讲解当中，有纯代数的方法，设未知数解方程，对计算及因式分解要求高，学生会在此处遇到困难，也可以用几何的方法，注意A点的特殊性，它是对称轴上的一点，充分把握住抛物线是轴对称图形这一特性，代几结合，在计算上发现比纯代数的方法要简单的多。

对比代数法和几何法，我想说他们各有千秋。

首先纯代数的方法虽然计算量大，但是一般来说用计算的方法能够非常全面的解出所有的情况。例如在第（3）问中设出C、D点的坐标后，列方程组求解可以把所有的情况均求解出来，不需要过多思考图形的画法，这本身就会节约出很多时间给学生计算，所以在日常教学中，如果有学生用到，我们应该鼓励和引导，而不是一棍子拍死说计算量太大。多和学生一起探讨优化算法，多拿起粉笔在黑板上板书算法，示范算法，多在日常教学中以实际行动让学生感悟不光是几何，复杂计算中也有数学的美，例如对称美，和谐美，让学生感悟初中数学的这点所谓的“复杂”计算其实并不复杂，老师的一次次板演从心理学的角度就是在告诉学生老师不怕计算，学生又会何惧计算呢？

其次几何法，胡老师用到了抛物线的对称性找到了第一个等腰直角三角形△A C₁ D₁ ，与第（2）问中的△A CD关于抛物线对称轴x=1对称，用等腰△A CD本身的对称性找到了第二个△A C₂D₂，再结合抛物线的对称性，在找到△A C₂D₂的基础上找到了△A C₃ D₃，我们在听胡老师研题的过程中觉得确实有理有据，非常全面，但是在考场上仅凭示意图不借助几何画板动态演示能在短时间内把三种情况都想全，确实很难，对学生分析能力和画图能力都有要求，当然我们在日常教学中多用几何画板演示，让学生更易于理解非常有必要，二次函数中的动态问题本身就是难点，既是老师教学的难点，是对老师教学水平的考验，也是学生学习的难点，不能够完成所有的情况很正常，教学相长，师生一起走在学习数学大路上，共同研读感悟数学的博大精深。

精彩点评三

聆听了胡春峰老师在第74讲中所研的2022年江苏省无锡市中考数学函数压轴题第28题，收获颇丰。这道压轴题看起来题干简单，入门浅，但要想突破压轴第三问，难度也是不小的。

将基本图形与函数图象充分融合是压轴题的常考题型，解决此题就要在基于理解数形结合，理解旋转和对称的图形变换的基础上，让点“动”起来，让形“变”起来，从而让学生体会此题从无图到有图的过程，有图就有戏，先画图再推理，这是一个从无到有的过程，是数学思维凝练的过程。胡老师在研题中生动的呈现了自然生成的数学思维方式。

在融合等腰直角三角形的对称性，二次函数的对称性的基础，用旋转变换为桥梁从学生已有的数学经验出发，贴近学生的学习实际，使学生既感觉这些知识点的确很熟悉，但却又不好把控而富有挑战性。胡老师用一题多解、一形多变来破解压轴题，巧妙递进，层次分明，逻辑清晰，能促使学生融合升华已学过的分散的知识点，让这些零星的知识点自动生成联系，从而化点为一体，逐步构造知识体系，提高学生的逻辑思维能力水平。

胡老师用了近30分钟的时间来进行本题的教学，反思之深足以体现胡老师功在平时，以新课标为依据，从七年级起步的数轴、相反数的数形结合，到以平面直角坐标系的形为载体下研究反比例函数、一次函数、二次函数的数形结合，没有这数形的一线串珠，数学之美无法呈现，从而数学基本思想的渗透就仅仅只是一句空话，再次说明数学核心素养根植在于每一堂课、每一道题的背后。好的教材、好的数学题、好的老师就是应当向学生展示数学思维的美妙，引导学生体验震撼感、力量感、解放感和科学之美，现在大家都说要减轻学生的负担了主张少讲精炼，讲课堂还给学生，将多个分散的知识点让学生在精炼的基础上形成自己的知识体系，这就要求老师更要关注学生练得层次、练得深度，所以在双减的道路上我还要向胡老师学习，将课标放心中，将题目中的知识串联起来，让学生真正体会数学的图形之美、规律之美，从而体会到数学学习的乐趣之美。

精彩点评四

2022年江苏无锡中考第28题是一道考查学生二次函数综合应用能力的压轴题，此题全面地考查了学生运用数形结合、方程思想、分类思想的能力。从胡老师的选题上，我能够感受到老师对于此类中考题对学生能力考查达成度的认可；从胡老师的讲解上，我能够体会到胡老师在教学上的细致考量；从胡老师的反思中，可以折射出胡老师对数学思想在教学中如何渗透的深度思考。下面我从以下三点谈一谈我的学习体会。

一、教学中需注重知识间的联系，培养学生融会贯通的能力。解题教学中，胡老师在第二问中提到的三个切口，围绕着∠CAD=90°这一条件，联想已有知识开展后续的解题。∠CAD=90°顶点在x轴上，并且图中已形成Rt△ABO，所以考虑构造一线三垂直的辅助线；D点是直线AD与抛物线相交而成，所以考虑利用两直线垂直斜率之间的关系求直线AD的解析式；围绕∠AOB=90°构造射影定理的基本图形。一个个知识点通过90°联系到了一起。通过胡老师的讲解反观学生的解题问题，从一个点发散出去的知识积累和能力是否具有，直接决定了解题的结果。

二、教学中需关注几何直观，深化数形结合的思想渗透。在分析第三小问时，胡老师结合第二问的情况，利用几何直观分析各种情况的可行性和不可行性。通过一个点运动牵动其余点的运动，位置的变换、线段长短的变化胡老师都一一分析到位，引导学生在无几何画板等动态演示工具的情况下推测出点D的位置情况。

三、在教学反思中，胡老师围绕几个知识点，梳理了数形结合思想在课本中的体现情境及函数大单元教学的思路。其中关于《反比例函数图像的教学设计》让我印象深刻，胡老师设计了由数猜形、为数配形、数形结合、联想迁移四个环节，这种设计让学生在不画图的情况下依据自己之前的作图经验，由解析式出发，想清反比例函数的基本性质，体现了由数到形、由形到数的结合过程，而这正是新课标中提到的经历、体验、感悟、探索的数学活动的全过程。胡老师对新课标的深刻理解和深度应用值得我们学习。

另外提出一点个人的小疑问，第二问的切口2和切口3他们都是求的D点坐标，感觉不需要划出两个不同方向。

最后在讲解切口2的方法一时，胡老师提到了互相垂直的两条直线的k值是互为负倒数这一结论，这个结论有个前提，必须在两直线不与x轴或y轴平行的条件下成立。

个人感言

江苏省无锡市2022年中考数学第28题是一道函数综合题，本题层次感很强，从求解二次函数的解析式开始，将函数图像与基本图形充分融合，然后从特殊到一般，步步为营，对数形结合思想、转化与化归思想、方程思想等数学思想的考察充分，对学生分析和解决问题能力的提升有很大的帮助，学生能动手，但想得满分不易，有很好的区分度。通过本次研题，收获颇丰，有以下几点感想

1.提高对自己的要求，在教学规范性上狠下功夫。数学作为一门基础性学科，具有其鲜明的学科特点，对知识的逻辑连贯性、严谨性有很高的要求，本次研题在前期准备的过程中出现了很多纰漏，比如PPT上函数的解析式出现写法错误，字母角标的写法不规范等，在此感谢李玲老师对研题课件的悉心指导，让我对专家前辈们严谨求实的作风深受感染，这提醒我在今后的教育教学过程中要抓好课前备课环节，做足准备，力争达到师生共赢。

2.加强对《课标（2022版）》和教材的学习研究。通过对无锡市中考数学第28题的研究，我感受到解题和解决问题不同，解题的知识基础源于教材，而解决一类问题的方法却需要教师认真研读课标和教材后帮助学生凝练，如本题第（3）小问，承接第（2）小问的特殊情况，要满足tan∠CDA的值等于1，就是要同时满足点C、D在函数图像上而且△CDA必为等腰直角三角形，如果无法理清这一关键要素是很难找到解题切口的，但究其根本是因为抛物线和等腰直角三角形都是轴对称结构，点A又恰好在抛物线的对称轴与x轴的交点上，所以当两者的对称轴重合时恰能满足题意。在此感谢黄毅老师对研题初稿特别是教学反思部分提出的宝贵建议，让我对教材中知识结构的内在联系理解得更为深刻，这提醒我在今后的教学中要加强学习。

感谢张钦博士提供的研题平台并给予我展示的机会，感谢数学教研员胡先德老师、黄毅老师、李玲老师对研题初稿的宝贵建议和悉心指导；感谢樊启坡老师、李玲老师、傅华英老师、王娅老师对本次研题的精彩点评；感谢远安县洋坪镇洋坪中学数学组的倾力相助。
虽然本次研题告一段落，但教研一直在路上，我要积极向各位专家学习。

胡春锋老师简介

胡春锋，男，宜昌市远安县洋坪镇洋坪中学教师。从事教育工作7年，从教以来积极参加各类教研活动，坚持学思结合，在课堂教学中不断锤炼教学基本功，曾获“远安县优秀教育工作者”，“优秀教研个人”，“优秀班主任”等光荣称号。