证明有界性定理, 竟然要用到这个知识!

学过高数的小伙伴们应该都知道，在学习极限的局部性质时，有一个有界性定理，它指的是闭区间上的连续函数必有界。但当时并没有进行证明。在《老黄学高数》系列视频第125讲中，对有界性定理有详细的介绍，同样没有给出证明。

那是因为证明这个定理，需要运用到实数完备性的原理，而实数完备性是后面才学的知识，所以当时无法证明。老黄这里就要运用实数完备性的定理，对有界性定理进行证明。老黄会给大家分享两种证法。

证法一运用的是有限覆盖定理。即闭区间的无限开覆盖必包含有限开覆盖。那是《老黄学高数》系列视频第221讲分享的内容。无限(有限)开覆盖的定义则在第220讲。

证法二运用的是聚点定理的推论，致密性定理，即有界无限数列必含有收敛子列。那是《老黄学高数》系列视频第219讲分享的内容。往前的章节还有聚点的定义，和聚点定理等内容的介绍。

证明有界性定理：若函数f在[a,b]上连续，则f在[a,b]上有界.

证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知，【其实就是极限的局部有界性】

对每一点x0∈[a,b]，都存在邻域U(x0, δx)及正数Mx, 使得

f(x) ≤Mx, x∈U(x0, δx)∩[a,b]，则

开区间集H={U(x0, δx) x0∈[a,b]}是[a,b]的一个无限开覆盖.【由闭区间上所有点的邻域构成的开区间集，就对闭区间形成了一个无限开覆盖】

由有限覆盖定理，存在H的一个有限子集

H’={U(xi, δi) xi∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，

且存在正数M1,M2,…Mk, 使得对一切x∈U(xi, δi)∩[a,b]，

记M=max(1≤i≤k)Mi, 则对任何x∈[a,b]，

x必属于某U(xi, δi)，且 f(x) ≤Mi≤M.【符合函数有界的定义】

∴f在[a,b]上有界.

证法二：(应用致密性定理)若f在[a,b]上无上界，则【反证法】

对任何正整数n，存在xn∈[a,b]，使得f(xn)>n.【无上界的定义】

依次取n=1,2,…，则得到数列{xn}?[a,b].

由致密性定理，{xn}含有收敛子列{x_(nk)}, 记lim(k→∞) x_(nk)=ξ.

由a≤x_(nk)≤b及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b].

∵f在ξ连续，∴存在实数A, 使lim(k→∞) f(x_(nk ))=f(ξ)=A.

又f(x_(nk))>nk≥k→+∞, ∴lim(k→∞) f(x_(nk ))=+∞，矛盾!

∴f在[a,b]上有上界. 同理可证f在[a,b]上有下界，

∴f在[a,b]上有界.

两种证明方法，你都看懂了吗？你觉得哪种更好，你更喜欢哪一种呢？