数学界的“无冕之王”：提出23个直击数学家们灵魂的问题

1900年8月8日，新世纪来临的第一个盛夏，在巴黎大学的讲演大厅里，正举行国际数学家第二次代表大会。在讲台前站立者，是一位中等个儿的蓄胡学者，看样子不到40岁，他那铿锵的声音在整个大厅中回荡， “在新世纪到来之际，我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看我们这门学科发展的前景和奥秘呢？引领下一代的数学思潮将追求什么样的目标呢？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪又将会带来什么样的新方法和新成果呢？”

讲演者的三个设问和其后的有力回答，震撼着与会者的心，发言人就是全世界最具名望的德国数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）。

戴维·希尔伯特

经过半年的缜密思考与精心的准备，希尔伯特的这份讲演稿长达40页，他根据19世纪的数学成果和未来发展的趋势，提出了新世纪数学家应该努力解决的23个问题。

正如他经常对自己的学生所说的，“问题的完美提出，就意味着已经解决了一半。”事后证明，这些问题不仅具有开创性，对它们的研究也推动了世界范围的数学发展，更成为新世纪数学发展的“制高点”。

在讲演结束时，希尔伯特充满激情并怀有无限希望地说：“数学是一切精确自然科学知识的基础，为圆满实现我们的崇高目标，让新世纪给这门学科带来天才的大师和无数热忱的信徒吧！”

希尔伯特的这次历史性演讲，激发了世界数学界的无比想象力，更是对数学界的一个极大的鞭策与鼓励。

人们普遍认为，一个数学工作者只要能解决希尔伯特巴黎演讲中23个问题的任何一个，都是对数学科学的一个重大贡献，随着问题的解决，必将推动20世纪数学的发展。正如希尔伯特的好友，著名数学家闵可夫斯基所说，希尔伯特的这次演讲“为新世纪数学发展提供了一份导航图”。

1950年，希尔伯特演讲的半个世纪之后，美国普林斯顿高等研究所的著名数学家，希尔伯特的学生赫尔曼·魏尔在美国数学学会的一次会议上，总结20世纪前半叶的数学发展史时说：“过去的50年，我们数学家正是按照这张导航图衡量我们进步的。”

希尔伯特的数学之路是自然天成的。1862年希尔伯特生于东普鲁士哥尼斯堡，这里是众多德国名人的出生地，德国哲学家康德、获得诺贝尔化学奖的拉瓦赫、提出著名数学“猜想”的哥德巴赫以及著名数学家、爱因斯坦的老师闵可夫斯基等都出生在这座小城里。

有人曾说，坐落在普雷格尔河上的哥尼斯堡本来就有数学的韵味，两条支流共7座桥，使它产生了著名的“哥尼斯堡七桥问题”。这是四个有名的数学难题之一，后来由瑞士数学家欧拉解决，并由此开创了拓扑学的研究。

哥尼斯堡七桥问题

环境的熏陶、家庭的影响以及自身的禀赋，使希尔伯特从中学时代起，就对科学，特别是数学，产生了浓厚的兴趣。

17岁时，他进入哥尼斯堡大学攻读数学，在这里与志同道合的闵可夫斯基建立了终生的友谊。1895年是他此生关键的一年，他来到德国的数学重镇哥廷根，担任哥廷根大学数学教授，直至退休。

在一片起伏的绿色丘陵地带之间，簇拥着一座古色古香的小镇。它的规模不大，人口不足12万，崎岖狭窄的石板路、低矮古老的红顶房屋、安静而质朴的风格，使其表面看来它与德国其他的小镇别无两样，但若你驻足，不久，就会发现这里充满着浓重的学术气氛，它就是驰名世界的德国学术重镇——哥廷根。

在老市政厅入口处，至今矗立着一块铭牌，上面刻有一句拉丁文古语，一语点出了哥廷根小镇的特色：“哥廷根之外没有生活，即便有生活，亦非这般的生活。”哥廷根的生活该是什么样的呢？

这里街道的名称在无声地向你做着解释，它们都是以曾在这里求学和长期工作过的学者命名的，高斯、韦伯、哈恩、黎曼、本生、普兰特尔、普朗克、劳厄、维恩、玻恩、克莱因、希尔伯特、奥本海默……这些名字宣示着一种成就、一种精神、一种风范、一种人格，毫不夸张地说，这些人中无论是哪一位，若一个城市或一所大学只要拥有其中之一，就足以使它们成为人类文明史上抹不掉的一页，而在这里，他们群星璀璨般地相继出现。

哥廷根精神注重“文人相继”，克莱因与希尔伯特合作、希尔伯特与闵可夫斯基的配合、高斯与电磁学奠基人韦伯的合作、玻恩与弗兰克在理论与实验的长期搭档、泡利与海森堡亲如兄弟般的相助都是卓有成效的例子。1886年数学家菲利斯·克里斯蒂安·克莱因来到哥廷根，经过不懈地努力，他聘请了比他小13岁而且早已显出过人天才的希尔伯特。

菲利斯·克里斯蒂安·克莱因

在当时的德国，有一个不言自明的“潜规则”，“一个地方在一个领域里，不能有两个以上的犹太学者”，但希尔伯特克服了重重困难，又聘请了年仅17岁就获得全德数学大奖的犹太青年赫尔曼·闵可夫斯基。正是“文人相继”的精神，使哥廷根的数学学派进入到全盛时期。

赫尔曼·闵可夫斯基

自从1895年3月希尔伯特来到这里担任教授之后，哥廷根的数学实力引起世界数学界的注目。希尔伯特所开创的数学讨论班吸引了世界范围的数学家。对数学的深刻理解、高水准的授课内容、严谨的讲课方式使他成为一个真正的数学教育家。在他讲课时，授课大厅常聚集好几百人，有的甚至坐在窗台上。

20世纪的著名数学家和物理学家，如维纳、冯·诺依曼、玻尔、玻恩等人，都数度聆听过他的教导。哥廷根成为全德，乃至全欧洲、全世界仰慕的数学朝圣之地，无可争议的世界数学中心。在当时，全世界几乎所有数学专业的学生，都心怀着一个梦想“打起背包，到哥廷根去！”因为那里有希尔伯特。

在哥廷根，希尔伯特整整工作和生活了48年。他的不变量理论、代数数域理论、积分方程、引力论张量理论、积分方程变分法、华林问题、特征值问题、希尔伯特空间等，无论哪个课题都称得上是对数学的开创性贡献。其中仅以他的名字命名的理论、概念和方法，诸如希尔伯特空间、希尔伯特模形式、希尔伯特环、希尔伯特变换、希尔伯特定理、希尔伯特程序等就有40个之多。

他的著作有《希尔伯特全集》，包括《数论报告》《几何学基础》《线性积分方程的一般理论》共三卷；此外还有与他人合作的《数学物理方法》《数理逻辑基础》《直观几何学》《数学基础》等。

他在巨著《几何学基础》中，把欧几里得几何学加以整理，并以此为基础，提出了一个更严密而完整的几何公理化体系。他的成果为20世纪初各个数学分支建立起了牢固的基础，由此掀起了数学界的“公理化运动”，领衔起一个数学学派，成为19世纪末到20世纪初数学界的一面旗帜。希尔伯特是“数学天才中的天才”，他被尊为数学界的“无冕之王”。

然而高踞于数学顶峰上的希尔伯特，并不把数学看作“不食人间香火”的高寒圣地，他曾对自己的学生一再地说：“对任何一个数学理论，你要能面对街上走过来的第一个人，跟他说明白，那你才是真正弄懂了它。”

希尔伯特在宗教的环境中长大并接受过新教的洗礼，但后来他远离了教堂，坚信数学真理是独立于上帝或任何先知的假设而存在的。1930年希尔伯特正式退休，在这年9月8日，德国科学和物理学学会为他举行了退休仪式。在会上作为答谢，希尔伯特先是引用了一句拉丁语名言：“我们不知道，我们也不可能知道”，然后他对这句名言作出了修改，给出了铿锵有力的应答，他说我们应当这样说， “我们一定知道，我们将一定能知道。” 如今，这句话已成为全世界数学家所熟知的名言，它是对后来者的激励与鞭策。

希尔伯特的墓碑

遵照希尔伯特的生前遗愿，在他去世后，墓前矗立着一块墓碑，上面用拉丁语镌刻着两行文字， “我们一定知道，我们将一定能知道。”

文源：《科学史上的365天》,略有删改

作者：魏凤文 武轶

编辑：张润昕

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