向量可以表示复数，那反过来，复数可以表示向量吗？

老黄今天在分析2022年高考数学理科全国乙卷的一道关于向量的选择题时，由于题目过于简单，以老黄的秉性，遇到简单的题目，肯定是要反复“折磨”它的，不把它折磨透，誓不罢休。结果就折磨出这么一个问题来了：向量可以表示复数，那反过来，复数可以表示向量吗？题目是这样的：

已知向量a, 向量b满足|向量a|=1, |向量b|=根号3, |向量a-2向量b|=3, 则向量a·向量b=
A. -2; B. -1; C. 1; D. 2

我们可以用至少三种方法来解决这个问题，实际上，老黄想用四种方法解决这个问题，但第四种没有行通。

(1)用点向量表示各个向量，可设向量a=(a,c), 向量b=(b,d)，则向量a-2向量b=(a-2b, c-2d).

那么|向量a|^2=a^2+c^2=1, |向量b|^2=b^2+d^2=3,

因为向量a-2向量b=(a-2b, c-2d)，

所以|向量a-2向量b|^2=(a-2b)^2+(c-2d)^2=a^2-4ab+4b^2+c^2-4cd+4d^2=(a^2+c^2)+4(b^2+d^2)-4(ab+cd)=1+12-4(ab+cd)=9.

因此向量a·向量b=ab+cd=1. 选C.

高手看完老黄的解法1，就知道老黄啥也不懂。竟然用这么原始的方法来解这道题。没错，老黄的确啥也不懂。问题是老黄啥也不懂也能解决这道题，比好多啥都懂的人好多了，不是吗？再来看看第二种方法，就相对简便得多了。

(2)其实向量也遵循完全平方公式展开法的。

直接求(向量a-2向量b)^2=(向量a)^2-4向量a·向量b+4(向量b)^2=1-4向量a·向量b+12=9，

所以向量a·向量b=1.

知识是平等的，不是谁简便谁就好的。只爱简便方法，相当于挑食，不利于知识健康。

(3)还有一种“半特值法”，就是假设向量a是一个定点向量(0,1)，而向量b可以看作圆上的一点，这个圆上任意点的向量是(根号3 cost, 根号3 sint)，那么

向量a-2向量b=(-2根号3 cost, 1-2根号3 sint). 表示为上图中的向量OD.

从而|向量a-2向量b|^2=12(cost)^2+(1-2根号3 sint)^2=12+1-4根号3 sint=9,

根号3 sint=1, 因此向量a·向量b=根号3 sint=1. 向量的点积，就是向量b在向量a的投影长与向量a的模的积.

老黄都把问题“折磨”成这样了，但老黄还不罢休，想用复数表示向量，尝试第四种方法，但这回老黄就吃瘪了，用复数表示向量，在这道题的运算中，是行不通的。您知道这是为什么吗？