形变欲如何，分类来求解——2022年伍家岗区五月模拟第23题

形变欲如何，分类来求解

2022年伍家岗区五月模拟第23题

在几何压轴题中，一旦形状不确定，则意味着分类讨论，典型的图形有等腰三角形未确定底和腰，平行四边形未确定边长大小等，学生在解这类问题面临最大的障碍，就是为什么要分类？平时的训练中，我们已经传授给了学生大量分类讨论的题型案例，如何将平时所学用之于压轴题解题，是我们共同面对的教学问题。

题目

平行四边形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，AC=AB，CG⊥AB，垂足为G，G在边AB上，CG与AF交于点H，连接EH.

(1)如图，若∠BAF=30°，求证：平行四边形ABCD是菱形；

(2)如图，若AG=6，BG=4，求HG的长；

(3)若AB=24，∠HEG=∠B，求EG的长.

解析：

0

1

(1)由条件AC=AB可知△ABC是等腰三角形，F为BC边上中点可知AF是等腰三角形底边上的高，再加上∠BAF=30°，由三线合一得∠BAC=60°，因此△ABC是等边三角形，AB=BC，所以平行四边形ABCD是菱形；

0

2

(2)AB=AG+BG=10，所以AC=10，观察△ACG，可求得CG=8，于是观察△AGH和△CGB中，它们是一对相似三角形，如下图：

相似比为3：4，可求得HG=3；

0

3

(3)本题难点所在，首先从已知条件出发，推导尽可能多的结论，例如AB=AC=24，AE=BE=12等，不妨设EG=x；

∠HEG=∠B，第一印象是△HEG∽△CBG，之所以选择这一对相似，是因为它恰好包含了EG，并且其对应边BG已知，显然这一对相似不够；

寻找第二个关联条件时，需要利用已求线段，已知数量关系的线段，能够和第一对相似有关联的图形，基于以上需求，我们连接FG，因为点F在斜边BC上，由斜边上中线等于斜边的一半，可以得BC=2FG，如下图：

可得FG=FB，于是∠FGB=∠B=∠HEG，得到FG∥HE，有平行必有相似，得△AEH∽△AGF，于是AE:AG=EH:GF，而在△HEG∽△CBG中，我们可得EG:BG=EH:CB，注意到其中存在CB=2GF，于是AE:AG=2EG:BG，可得方程12:(x+12)=2x:(12-x)，整理得x²+18x-72=0，解得x=-9+3√17或-9-3√17(舍)；

此时不要急着结束答题，还有一个备用图，观察它的形状和左图有什么区别？尝试按题目条件作图，看上述E、G位置有什么不同？如下图：

仍然由∠HEG=∠B得EH∥BC，于是△GEH∽△GBC，△AEH∽△ABF，而点E是AB中点，点F是BC中点，于是EH=1/2BC=1/4BC，所以EG=1/4BG，可列方程x=1/4(12+x)，解得x=4；

综上，EG=-9+√17或4.

解题反思

在第三问中，有学生走了如下弯路：

设EG=x，利用△AGH∽△HGE，表示出GH²=x(x+12)，再利用△AGH∽△CGB表示出CG=(144-x²)√x(x+12)，再到△ACG中用勾股定理列方程，可想而知计算量之大，当然，结果是一个三次方程，走入死胡同。

这道题中的相似三角形较多，这给了我们一个难题，如何教会学生选择合适的相似三角形求解？在几何教学中，我们讲了无数例题、习题，归纳了很多方法、模型，这些东西仅仅只是讲过，并不足以让学生在解题中游刃有余，所以把“我讲过，但学生不会”作为推辞非常勉强，这和某些家长说“我说了，他(她)不听”同样失败。教育这件事，得授人以渔，教会，是最终目的。

回到刚才的问题，教师在解题过程中，是如何找到最优解的，分析自己的思路，再从中找到让学生更快上道的方法，是值得研究的话题。每位教师的平时教学风格不同，因此思路的获取也是千差万别，学生学得久了，解题风格肯定会受教师影响，从这个角度来看，教师研题非常有必要，不仅要解出一道压轴题，更要道清来龙去脉，在平时教学中追根溯源。

不过作为教师解题，和学生解题，最大的区别在于解完之后，要思考如何讲给学生听，不能把答案念一遍，更不能卖弄技巧，故弄玄虚，而需要和学生一道，将思路形成过程原原本本说清楚，更多的时候，教师需要走进学生心里，以学生思考过程中的“断点”出发，进行续传，这种解法虽未必最优，但却最符合学生思维，毕竟是自己想到的，遇到的困难被解决了，印象更深。

在此之后，再引导学生反思，自己的解法为什么不是最优，从思维的哪一处，可以改道，成为最优，坚持下去，思维才能不断优化。