1、空间曲面的切平面与法线
空间曲面：
曲面上点 处的法向量可以取为
依据平面的点法式方程，曲面 上点 处的切平面方程为
依据直线的点向式方程，法线方程为：
空间曲面：
曲面方程可改写为三元方程描述形式
曲面上点 处的法向量可以取为
曲面 上点 处的切平面方程为：
曲面 上点 处的法线方程为
空间曲面为参数方程描述
曲面上点 对应的参数为 ，则曲面上点 处的法向量可以取为
类似可以直接写出切平面方程与法线方程.
2、空间曲线的切线与法平面
空间曲线为参数式方程
设空间曲线 的参数式方程为
则在点 处曲线的切线的方向向量可以取为
从而可得切线方程为：
法平面方程为：
空间曲线为一般式方程
设空间曲线 的一般式方程为
是曲线 上的一个点，假定 对各变量具有一阶连续偏导数以及雅可比行列式
则方程组在点 的某一邻域内确定了一组具有连续导数的隐函数 及 ．从而在对应邻域内曲线可以由参数方程
描述．曲线切线的方向向量可以取为
两个导数的计算可以直接通过对方程组两端关于 求导
解得. 并且可得计算公式
所以，切向量可以取为
【注1】在实际计算过程中，一般不使用公式，而是采取直接利用方程组求解，尤其是求具体点的切向量时，将具体坐标点代入方程组后直接求导数更加方便，有效. 类似，也可以对 求导，将 视作函数；对 求导，将 视作函数. 分别取切向量为
【注2】对于由一般式方程描述的曲线切线方程的计算，也可以直接视切线为两个曲面在定点处的切平面的交线来得到，这样切线的方向向量也就可以取为两个曲面在定点处的法向量的向量积，即
得到与上面一致的结论.
多元函数微分学的几何应用是各类包含多元函数微分学内容考试考试频率非常高的一个知识点，有关于《多元函数微分学的几何应用》详细具体讨论和典型题处理思路，可以参见下列视频课堂的分析、讨论与应用系列教学内容：
第一届非数学类预赛()
第3题：曲面的切平面计算思路与方法
第六届非数学类预赛()
第2题：空间曲面切平面与法线方程的一般计算思路与方法
▪ 由曲面一般式方程求切平面与法线方程
▪ 由曲面的参数式方程求切平面与法线
▪ 曲面的切平面方程计算实例分析与讨论
第八届非数学类预赛()
填空题第五题：空间曲面的切平面法向量的一般计算思路
公众号回复“在线课堂”，或者直接点击进入在线课程列表，历届竞赛真题与专题在线课程不仅适用于大学生数学竞赛，也适用于全国硕士研究生招生考试与课程学习，不仅适用于基础阶段的学习、复习，也适用于学习、复习、备考的提高、深化与查漏补缺，更能学到探索问题求解思路的方法和提升问题求解思路探索的能力！
参考课件
【注】课件中例题与练习参考解答请参见对应的后续推文，直接点击文首的话题“”查看该章节内容列表！
●高等数学、线性代数、概率统计、数学分析、高等代数等课程完整推送内容参见公众号底部菜单高数线代下的各选项，主要内容包括各章节内容总结、课件，题型、知识点与典型题分析、典型习题讲解、知识点扩展与延伸和单元测试题等！
●历届考研真题及详细参考解答浏览考研帮助菜单中考研指南真题练习选项
●全国、省、市、校竞赛真题、模拟试卷请参见公众号底部竞赛实验下竞赛试题与通知选项
●全国赛初赛历届真题解析教学视频/高等数学解题思路、方法探索与“解题套路”，参见咱号配套在线课堂的历届竞赛真题解析课程，具体介绍请在公众号会话框回复“在线课堂”或者点击公众号菜单高数线代下的在线课堂专题讲座选项了解！
微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)大学数学公共基础课程分享交流平台！支持咱号请点赞分享！
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
