大家好！本文和大家分享一道2005年高考数学真题。这道题是2005年全国3卷理科数学试卷的第21题，考查的是抛物线的概念、直线与抛物线的位置关系以及直线的方程等知识。这道题的难度不算大，如果这道题都不会，那么想考本科就比较难了。
先看第一小问：求直线过焦点时x1+x2的值，下面和大家分享两种解法。
解法一：
由于直线l是线段AB的垂直平分线且点F在l上，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到：|FA|=|FB|。根据抛物线的定义可知，A、B两点到抛物线准线的距离相等。由抛物线方程可知，抛物线的准线为y=-1/8，这是一条平行于x轴的直线，所以A、B两点的纵坐标相等，即y1=y2。
又A、B两点在抛物线上，从而可以转化x1与x2之间的关系，变形后得到：(x1+x2)(x1-x2)=0。由y=2x^2可知，该抛物线上所有点的横坐标都不可能相等，即x1≠x2，所以必有x1+x2=0，即当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F。
解法二：
由抛物线的方程可求出抛物线的焦点坐标为F(0,1/8)。接下来对直线l进行讨论。
当直线l的斜率不存在时，x1+x2=0，此时直线方程为x=0，过焦点F。
当直线l斜率存在时，可以设其方程为y=kx+b。然后根据直线l是AB的垂直平分线可以由AB的中点在直线l上及直线AB的斜率为-1/k得到一个方程组，再根据A、B两点在抛物线上，从而消去y1和y2，得到x1和x2之间的关系。然后求出直线l的截距的值，进而判断其是否经过焦点。
另外，解法二还有两个处理方法。
第一、分析可以发现，直线l的斜率不可能为0，那么这种情况下可以设直线l的方程为x=my+n的形式。这样就免去了分类讨论的麻烦。
第二、在求出了焦点坐标后，可以假设直线l过焦点F，从当直线斜率存在时可以设其方程为y=kx+1/8，然后再求解。
再看第二小问：求截距的取值范围。
根据题意可以设直线l的方程为y=2x+b，从而设直线AB的方程为y=-x/2+m。将抛物线方程和直线AB方程联立，消去y可以得到一个关于x的方程。由于A、B是抛物线上不同的两点，则得到的这个一元二次方程有两个不相等的实数根，即判别式△＞0，从而可以求出m的取值范围。
接下来，利用A、B两点的坐标表示出AB中点的坐标，而中点又在直线l上，所以将中点坐标代入直线l的方程，就可以得到b和m的关系，根据这个关系就可以求出b的取值范围，也就是直线l在y轴上的截距的取值范围。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
特别声明：以上内容(如有图片或视频亦包括在内)为自媒体平台“网易号”用户上传并发布，本平台仅提供信息存储服务。
Notice: The content above (including the pictures and videos if any) is uploaded and posted by a user of NetEase Hao, which is a social media platform and only provides information storage services.
