2004年全国IV卷数学压轴题，题目非常经典，高中生应该掌握

大家好！本文和大家分享一道2004年高考全国IV卷理科数学的压轴题。

2004年高考全国卷有4套，其中使用全国IV卷的地区有青海、宁夏、甘肃、新疆、贵州等。当年IV卷理科数学压轴题非常经典，现在的高中生也应该掌握，接下来我们一起来看一下这道高考真题。

本题综合考查了导数的计算、三角函数的性质、等差数列和等比数列的概念及通项公式、前n项和的计算。

先看第一问：证明数列{f(xn)}为等比数列。

要证明一个数列为等比数列，最常用的方法就是根据等比数列的定义，即从第二项开始，后一项与前一项的比值为不为零的常数，用符号语言表达就是：a(n+1):an=q。所以，我们需要先求出f(xn)的表达式。

求f(xn)的表达式前，我们先回忆几个知识点：

(1)两函数积的导数：[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)；

(2)正余弦函数的导数：(cosx)'=-sinx，(sinx)'=cosx；

(3)根据三角函数的值求角：sinx=0，则x=nπ。

接下来先求出f(x)的导数，再根据f'(x)=0求出x的值，即先求出数列{xn}的通项公式，再求出f(xn)的表达式，最后用等比数列的定义来判断。

再看第二问：求极限。

第一问相对比较简单，第二问难度其实也不算大，但是计算量就比较大了。

由第一问可知，数列{xn}为等差数列，数列{f(xn)}为等比数列，那么数列{xnf(xn)}就是差比数列，差比数列求和用到的是错位相减的方法。错位相减求和的方法并不难，难的是计算。

错位相减求和的第一步是将Sn用各项表示出来，第二步就是将表达式的两边同时乘以差比数列中等比数列的公比，第三步就是将两个表达式相减，第四步就是将第三步得到的等式等号的右边求和，求和时可以分出一个等比数列并求和，这样就减小了计算量，第五步就是将等式两边同时除以(1-q)，即可得到Sn。

因为本题中，f(x1)=q，所以为了写起来方便，就用q代替-e^(-x)。

求出Sn后，再将需要求极限的代数式表示出来。因为整个式子比较复杂，所以在表示过程中先观察各项的特征，分组进行计算，从而得到其最简化的表达式(见下图)。

因为|q|=e^(-x)＜1，所以当n趋于正无穷大时，|q|^n的极限为0，且(2πq^2)/[n(1-q)^3]的极限也为0，所以该式的极限就为πq/(1-q)^2，再将q=-e^(-x)即可。

整体来说，本题的难度不算太大，但是综合性非常强，而且计算量也比较大，高中生应该掌握。