中科大陈秀雄团队证明凯勒几何两大核心猜想，登美国数学会杂志

机器之心报道

机器之心编辑部

审稿人评价称：「陈 - 程的突破性工作原创性极高、技术艰深，不仅解决了凯勒几何中重大难题，也为此类非线性方程提供了深刻的洞见。可以预见，这一系列论文必将成为几何与偏微分方程领域的经典之作。」

刚刚，中国科学技术大学宣布，该校几何物理中心创始主任陈秀雄教授与合作者程经睿在偏微分方程和复几何领域取得「里程碑式结果」，成功证明了两个国际数学界 60 多年悬而未决的核心猜想。

几何物理中心创始主任陈秀雄教授（中）与程经睿（左）。

具体来说，他们解出了一个四阶完全非线性椭圆方程，解决了若干有关凯勒流形上常标量曲率度量和卡拉比极值度量的著名问题，包括长期未决的强制性猜想和测地稳定性猜想，将对几何和偏微分方程的研究产生重要的影响。两篇论文日前发表于国际著名刊物《美国数学会杂志》。

审稿人评价称：「陈 - 程的突破性工作原创性极高、技术艰深，不仅解决了凯勒几何中重大难题，也为此类非线性方程提供了深刻的洞见。可以预见，这一系列论文必将成为几何与偏微分方程领域的经典之作。」

英国皇家科学院院士、1986 年菲尔兹奖和首届数学突破奖得主西蒙 · 唐纳森爵士认为，他们的工作已经提供了众多常标量曲率凯勒度量的新例子，毫无疑问将成为完全认识这个问题的基础。

美国科学院院士布莱恩 · 劳森教授表示，陈和程最近的系列论文令人惊叹，成为该领域里一个实质性的突破。

他们解决了一个什么问题？

在数学中，一个凯勒流形（Kähler manifold）是具有满足一个可积性条件的酉结构（一个 U(n)- 结构）的流形。特别地，它是一个黎曼流形、复流形以及辛流形，这三个结构两两相容。凯勒流形上的常标量曲率度量的存在性是过去六十多年来几何中的核心问题之一。关于其存在性，有三个著名的猜想——稳定性猜想、强制性猜想和测地稳定性猜想。

稳定性猜想限制在凯勒 - 爱因斯坦度量时称为丘成桐猜想，由丘成桐于上世纪九十年代提出，并由陈秀雄、唐纳森和孙崧率先解决。他们的证明得到了学界的首肯，他们也因此赢得了维布伦几何奖（几何和拓扑领域的最高奖项）。

强制性猜想和测地稳定性猜想中的必要性，经过最近二十多年众多著名数学家的工作，已变得完全清晰。然而，其充分性的证明在陈 - 程的工作之前被认为是遥不可及的。

求出一类四阶完全非线性椭圆方程的解，就能证明常标量曲率度量的存在性。陈 - 程的工作恰恰就是在 K - 能量强制性或测地稳定性的假设下，证明了这类方程解的存在。这类方程的研究极为困难，长期以来业内专家普遍不相信会有一个令人满意的存在性理论。在陈 - 程的工作前，对此类方程几乎没有合适的处理工具。陈 - 程最重要的突破是给出了这类方程的先验估计以及成功实现了陈秀雄教授提出的新的连续参数的策略。

专家认为，求解一类四阶完全非线性椭圆方程，此前就如同一块无形的幕墙挡在数学家面前，陈 - 程的工作就是在幕墙上「掏了一个洞」，在毫无征兆的情况下找到一个突破口，不仅求出了方程的解，而且建立了一套系统研究此类方程的方法，为探索未知的数学世界提供了一种新工具。

此外，陈 - 程的文章中还有许多其它突破性的结果。例如，他们给出了环对称凯勒流形上稳定性猜想的证明，将唐纳森在环对称凯勒曲面上的经典定理推广到了高维。关于一般稳定性猜想的证明，两位作者在文章中提出了一系列深刻的问题和可能的解决方案。尽管还有诸多困难需要克服，专家们相信稳定性猜想的完全解决已成为可能。在文章的预印本公开后的两年里，已经出现了一系列重要进展。

合作者简介

陈秀雄教授是中国科学技术大学「吴文俊讲席教授」、国际著名几何分析学家，2018 年成为上海科技大学数学科学研究所的创始所长。他 1987 年毕业于中科大数学系，随后就读于中国科学院研究生院，获硕士学位。1989 年由国家保送去美国宾夕法尼亚大学攻读博士，师从著名几何学家卡拉比(Calabi )，并获美国国家科学基金资助。

陈秀雄教授近年来在偏微分方程和复几何领域取得了一系列重要进展。他与西蒙 · 唐纳森和孙崧合作证明的 Fano 流形上的稳定性猜想被学界视作自佩雷尔曼解决庞加莱猜测以来微分几何领域最重大的突破。除了此次完成的重要成果外，他与王兵合作证明了法诺凯勒里奇流极限的弱紧性, 继而与孙崧和王兵合作证明了极限的唯一性，并给出了丘成桐猜想的一个基于凯勒里奇流的新证明。

2019 年 1 月，美国数学会授予陈秀雄、西蒙 · 唐纳森、孙崧奥斯瓦尔德 · 维布伦 (Oswald Veblen) 几何奖，旨在表彰他们证明了 Fano 流形上一个长期悬而未决的猜想。6 月，西蒙斯基金会冠以陈秀雄 2019 年西蒙斯学者的称号。同年 11 月，陈秀雄教授被纽约州立大学董事会授予首席教授头衔。

值得一提的是，陈教授在育人方面的成果也非常显著。上面提到的孙崧以及前段时间获得青橙奖的陈杲都是陈教授的弟子。2015 年，陈秀雄与陈杲合作解决了 1977 年霍金提出的「引力瞬子」问题。2021 年 2 月，陈杲的论文《J 方程和超临界厄米特 - 杨振宁 - 米尔斯方程的变形》发表于数学界四大最高杂志之一《数学新进展》，引发国际数学界关注，被美国科学院院士劳森等第一时间引用。

本次陈教授的合作者程经睿本科毕业于清华大学，2018 年在美国威斯康星大学麦迪逊分校获数学博士学位，现为纽约州立大学石溪分校数学系助理教授。程经睿在完成这项工作时博士尚未毕业， 其研究潜力可见一斑。

论文链接：

https://www.ams.org/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00967-0/home.html

https://www.ams.org/journals/jams/2021-34-04/S0894-0347-2021-00966-9/home.html

http://news.ustc.edu.cn/info/1048/77323.htm

https://mp.weixin.qq.com/s/jVIZkKmv_PhL8a9bm_yiuw

http://news.ustc.edu.cn/info/1048/77323.htm