相对论（15）为什么引力场方程，无法精确求解两个天体运动问题？

1915年，爱因斯坦在黎曼几何的基础上，写出了描述物质能量分布以及空间曲率的方程式。改变和影响了我们对时空，及其宇宙的认识。

首先狭义相对论告诉了我们，时间和空间是一个统一的整体，现在广义相对论告诉了我们，时空和物质之间会发生相互作用。这就是经过爱因斯坦改造后的引力场方程。

方程左边表示了时空曲率，右边表示物质分布，所以就有了我们常会听到的一句话：物质决定了时空的弯曲，而弯曲的时空又告诉物质怎样运动。

在我们普通人看来这个方程好像也没啥，看起来并不复杂，其实这个方程在很多问题上根本无法求解，就算是一些简单的问题，也只能给出近似解。

因为这个方程是由十个未知函数组成的二阶非线性偏微分方程组，你没看错，这是个变量超级多的方程组。求解起来非常非常困难。

所以我们常会听说广义相对论方程组没有一般的解法，只有暴力求解，就是把出现的所有变量都考虑进去，依靠超强的算力去算。即使是这样也无法得出很多的解。

爱因斯坦写出这个方程到现在已经一百多年了，我们算出来的不同情况的解，也就十几个而已。

最早出来的一个解，就是史瓦西给出的，他这个解是最基本的一个情况，排除了所有的变量因素以后，也就是假设宇宙中只有一个质点，且这个质点还静止不动，如果密度增加会怎样？就算出来一个黑洞。

如果现在我们让这个质点转动起来，就增加这一个因素，对解爱因斯坦的方程来说，又变成了一个新的难题。

再比如说，现在在宇宙中有两个质点，它们在互相环绕，这不就是两个天体之间的运动嘛，看似简单的情况，其实直到现在都没人能够用广义相对论的场方程给出两个天体相互运动的精确数学解。

只能得出一些近似解，比如一阶近似、二阶近似等等。那么这个一阶近似怎么理解？

假设太阳和水星这个系统，当我们假设太阳不自转，太阳在空间中不运动，水星的质量和体积小到忽略不计，在太阳造成的弯曲时空中运动，那么牛顿力学给出的数学解就可以看作是对这个问题的一阶近似。

但是我们知道，太阳在自转，也在公转，水星的质量和体积不能忽略不计，所以牛顿力学只能给出和真实情况偏差最大的近似解。

爱因斯坦在解决水星近日点进动的时候，其实只算出了二阶近似的解，就弥补了水星近日点进动每百世纪43角秒的偏差。这个后面我们还会说到。

总之，爱因斯坦为我们描述了一个动态的、富有弹性的时空结构，因为物质的存在，时空的结构就会发生相对应的变化；

比如，在太阳所处的时空中，就会因为太阳的质量而导致太阳周围的时空发生弯曲，当然这种弯曲是我们无法想象的，因为本身我们就生活在三维空间之中。

这就好比，一只蚂蚁生活在二维曲面上，它是没有办法分辨自己生活的空间是怎样的几何结构。

但是作为三维生物的我们，就能从更高的维度，也就是蚂蚁缺失的上下维度，看到蚂蚁生活的空间就是一个曲面。

如果现在存在一个更高维度的生物，那么它也可以看到，我们生活的空间的形状。

不过，为了方便理解，我们还将三维空间的弯曲，类比到了二维平面上，也就是我们常说的，四个人拉一个床单，在床单的中心放一个铁球，因为铁球的存在，就会造成床单中心下凹，变成一个平面变成曲面。

现在我们把弹珠以一定的速度抛到床单上，这个弹珠的运动状态就会受到空间曲率的影响，然后绕着铁球运转。

假如没有任何阻力，也就是弹珠的速度不会发生衰减的话，那么这个弹珠将会一直绕着大铁球运行。这就跟我们地球绕太阳是一样的。

所以在爱因斯坦的宇宙中，引力其实就是时空的几何结构。

这一伟大的发现，被后世所有的科学家认为是人类思维对自然的一次伟大胜利。但是一个成熟正确的科学理论，仅仅是做到了逻辑自洽还不行；

它需要包容以往的旧理论，解决旧理论不能解决的问题，并且要做出新的预言，且这个预言还要能够被证伪。

很显然广义相对论做到了，它囊括了牛顿引力理论，并且解决了牛顿无法解释的水星近日点异常进动问题，还提出了很多的预言，比如光线弯曲、引力红移、引力透镜、引力波等等。并且这些都得到了实验和观测的证实。

先说水星轨道近日点进动的问题。

行星绕太阳运动的轨道是椭圆，这早就被开普勒所知晓，而且开普勒还算出行星的近日点，它不总是在一个地方，而是会发生进动，或者说是位置在发生变化。

原因是，行星绕太阳运动的轨道不是一个闭合的椭圆，它从起点出发，转一圈回来以后，并不会准确地回到起点的位置，所以近日点的位置就总是在发生变化。

导致行星轨道不是闭合椭圆的因素很多，比如太阳的转动，其他行星的引力影响，引力波等等这些因素。

不过，在太阳系，除了水星以外的其他行星，牛顿的引力理论对它们的近日点进动预测和观测结果都符合得很好，总之在误差范围内。

但是到了水星这里，牛顿就不灵了，预测结果和观测偏差相对于行星来说很大，人们在考虑了所有的影响因素之外，比如地球岁差对观测结果的影响等等，还是无法使得偏差进入合理的范围。

那么牛顿理论预测出来的水星近日点进动是多少？每一百年，水星近日点会进动5557.63角秒，这个角度非常小，因为1角秒等于1/3600度。

而我们实际观测的值为5600.73角面， 两者之间仅仅相差了43.11角秒，这个差异只占到了总进动幅度的0.77%。

可以说非常非常小，这也能看出，牛顿的理论其实真的很牛，预测的可以说已经相当精确了，只不过，科学家觉得这个差值，还是比其他行星的大了很多，不能接受。

所以就在不断地寻找造成43.11角秒差异的根源。在这期间提出了很多假说，比如水星轨道内存在一颗未被发现的行星，日冕影响了水星运动等等。

这个疑难杂症直到爱因斯坦的广义相对论出来后，才得到解决。爱因斯坦利用自己的理论重新一算，得出来的结论是，应该在牛顿预测值上再加43.3角秒。

这样就跟观测值只差了0.08角秒，在允许的误差范围内。所以说，爱因斯坦的引力理论比牛顿的还要精确，这也说明了，牛顿的引力理论在处理强引力场的时候，就会失效。

不过，像我们平时发射个卫星啥的，盖个桥啥的，牛顿引力理论的精度完全够用。毕竟人家预测水星这个天体的结果，也不过才差了43角秒而已。

接下来这个验证实验，可以说是家喻户晓，也是爱因斯坦的成名之战。光线经过大质量天体的时候，会发生弯曲。

至于如何验证，爱因斯坦也给出了办法，在夜晚的时候，我们在天空中拍一张照片，在其中选择一个恒星，记录下这个恒星相对于其他恒星在天区中的位置。

现在我们在白天的时候，当太阳经过这个恒星的时候，我们给这个恒星拍照，就会发现因为太阳的弯曲了时空，我们会看到这个恒星相对于其他恒星位置发生了变化。

那白天我们看不到星星咋办？日全食嘛。等到日全食的时候，我们就能看到这颗恒星的位置发生了变化。当然，这个恒星是经过特殊选择的，必须在日全食发生的时候，光线正好经过太阳。

爱因斯坦的理论预测，光线在经过太阳时会偏转1.75角秒，牛顿理论预测出来的数值是0.87角秒，两者差了很多。

1919年的观测结果显示，光线经过太阳偏转了1.61±0.3角秒，和爱因斯坦的预测吻合得很好。

这个观测结果出来以后，爱因斯坦就成为了可以比肩哥白尼、牛顿的人物。至此家喻户晓，成为了科学、智慧、真理的象征。

最后还有一个预言，也是爱因斯坦当时给出的，叫引力红移和引力蓝移，这个现象爱因斯坦发现得比较早，在他考虑等效原理的时候，爱因斯坦就已经知道了，当一束光想飞出引力场的时候，就会丢失能量，导致波长变长，发生红移；

当一束光落入引力场的时候，能量就会增加，导致波长变短，发生蓝移。

同样是电梯这个思想实验，你现在处在一台封闭的电梯中，电梯正以加速度g，在太空中旅行，此时你站在电梯里就跟站在地面上一样，因为加速度等效于引力。

如果此时从你头顶向下射一束光，由于你相对于光在做加速运动，因此你会看到光线发生了蓝移，当然你远离光线，就会看到光线红移。

由于等效原理说，加速度等效于引力，因此就有了引力红移和引力蓝移。

所以说，对引力红移和蓝移的检验，其实也是对等效原理的检验。不过这个实验不好做，爱因斯坦并没有看到这个现象被验证。

直到1959年的“庞德-雷布卡实验”，才验证了引力红移和蓝移现象。这个实验非常简单，我们知道，在原子中电子处于激发态的时候，它会自发的跃迁会基态，并释放出相应频率的光子。

这个频率的光子又可以被同样的处于基态的原子吸收，但是如果光子在发射出来以后，频率发生了变化，那同样的原子将不再吸收这个光子。

因此实验就可以这样设计，把一个原子放在地面，另外一个原子放在高处，这样它们俩所处的引力场强度就不同了。

如果引力红移正确的话，那么底下这个原子发出的光子向上打的时候，频率就会发生变化，上面这个原子就不会吸收它。

实验结果显示确实发生了红移，上面这个原子并没有吸收这个光子。那么如果我们让底下这个原子在释放光子的同时，向上运动呢？

我们知道光的多普勒效应，这样会让释放的光子发生蓝移，因此只要速度正确，刚好就能抵消因为引力造成的红移，实验结果显示，向上运动的速度和理论预测一致。

因此，引力红移和蓝移现象也就得到了验证。

除了这些以外，广义相对论预测的很多更大的现象也得到了验证，比如引力透镜，大质量星系经过背景星光的时候，会造成空间扭曲，因此我们就看到了类似透镜偏折的现象，非常神奇。