几何直观法求弓形面积的最小值

几何直观法求弓形面积的最小值

周末思考题中的一道求弓形面积最小值的题目，难住了不少学生，对于弓形，初步的认知建立在课堂上扇形面积减去三角形面积，需要的量为圆心角、半径、圆心距等，在没有学习三角函数之前，非特殊的圆心角往往不容易求，于是这道题便这么卡壳了。

题目

如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，半径为2的圆与直线y=kx+1-k交于A，B两点，弦AB与劣弧AB组成一个弓形(图中阴影部分)，求弓形面积的最小值.

解析：

对题目条件进行逐句解读，以原点O为圆心，半径为2的圆心，它与坐标轴的四个交点全部可求，例如与y轴正半轴交点为(0,2)，与x轴正半轴交点为(2,0)；

直线y=kx+1-k是一次函数的图象，由于含参数k，因此直线并不确定，但是我们将其变形为y=k(x-1)+1之后，发现当x=1时，y=1，此时与k的取值无关，这意味着无论k取何值，x=1,y=1，这正好就是坐标系内的一个点坐标(1,1)，即一次函数图象经过一个固定的点(1,1)；

直线与圆O一定会有两个交点，理由这个定点在圆内，那么圆心到这条直线的距离小于半径2，说明交点始终有两个即点A、B，但是这两个点之间的弧可能是优弧也可能是劣弧，根据题目要求，弓形是劣弧与弦AB围成；

现在我们可以大致想象一下这个弓形的形状，一条经过定点(1,1)的直线，与圆O相交后，弦AB与劣弧AB围成一个弓形，不妨多画几个草图来验证一下自己的想像，如下图：

通过以上草图，我们发现，弦AB成为直径时，弓形变成了半圆，自然此时面积最大，但何时最小呢？

通过上述几何直观感受，我们将圆心和定点(1,1)连接起来，当这条连线与弦AB垂直时，弓形面积最小，如下图：

此时直线AB经过圆O与y轴正半轴交点(0,2)，将(0,2)代入y=kx+1-k之后，求得k=-1，于是y=-x+2，它与x轴正半轴的交点恰好是(2,0)，即圆O与x轴正半轴的交点。

直线与坐标轴的交点，恰好是圆与坐标的交点，此时再来求弓形面积，就容易多了。先求扇形AOB的面积为π，再求出△AOB的面积为2，因此这个弓形面积的最小值为π-2.

解题反思

为什么选择几何直观而不是用解析法？在九年级上学期刚刚学完圆的相关知识，与函数的综合尚未开始，接触本题的学生多少会有点懵，而从直观发现，比起推导要好理解得多，同时，推导弓形为什么面积最小，也超出了此时学生理解范畴。

正如前面分析中弓形面积等于扇形减掉三角形，扇形面积与圆心角、半径有关，显然圆心角在不断变化，用函数来描述这一变化过程，初中阶段很困难；三角形面积需要求得弦长和弦心距，但这两个量均在不断变化中，且它们之间的关系并非简单的初中阶段函数可以解决，以上原因导致在给学生讲这道题的时候，为什么面积最小，是通过观察发现的。

本题的这个特点完全可以用来构建新定义，将经过圆内某定点的弦，与这条弦所对的劣弧围成的弓形记为“某弓形”，探索这面积的最值，显然最大值是当弦成直径时，而最小值则是当弦垂直于圆心与定点的连线时。

更进一步探索，既然圆内存在一定点，那么该定点到圆周的距离也存在一个最大值和最小值，它们与“某弓形”的面积最值之间是否存在关联呢？

所以从本题出发，还能不断探索挖掘，留待读者更深入思考。