布朗运动——随机运动的极限

19世纪，一位名叫罗伯特·布朗的苏格兰植物学家注意到悬浮在水中的花粉颗粒呈现出随机的运动。他的研究揭示了这种随机运动实际上是物质在那种状态下的一种普遍特性，这种现象被称为布朗运动。

布朗运动在物理学、工程学、金融学、经济学等领域有着广泛的应用。最值得注意的是，阿尔伯特·爱因斯坦在他的工作中使用布朗运动来证明原子的存在。要建立一个关于布朗运动到底是什么的直观感受，需要把它想象成空间中某种随机的运动。

空间随机运动

我们想要在空间中产生某种随机运动。一个简单的方法是生成一个随机游动。

假设我们无限多次投掷一枚硬币，并记录每次投掷i的结果。我们用X_i表示第i次投掷的结果，其中X_i取值H或T，对于每个i，通过以下公式定义随机变量ζ _i：

• 第i次抛硬币的结果

所以ζ=（ζ_1，ζ_2，ζ_3，…）是-1和1的序列，代表我们抛硬币的结果。既然每抛一枚硬币是独立于前面的抛硬币，并且每个硬币抛硬币都有相同的概率分布，我们说随机变量ζ_i独立同分布（缩写为iid）。

通过ζ生成一个随机运动

我们随便走走。我们用S_n表示n时刻的位置。假设开始行走的点为0，即S= 0。在第一步，我们要么向上，要么向下，这取决于ζ_1的值。所以我们在第一步的位置是S_1=ζ_1。

对于每一步（，ζ_n的值告诉我们是在正方向上走一步，还是在负方向上走一步。因此对于第二步，取决于ζ_2 ，S_2将为S _1+1或S _1-1。所以S_2 ＝ S_1 +ζ_2。

一般情况下，随机运动在第n步的位置由下式表示：

• n时刻随机游动的位置

因此，我们通过序列 S=(S_0， S_1，S_2…)定义随机运动。注意，随机运动的位置在某一时刻是由前一刻的位置决定的。

• 两个随机运动S_1和S_2从0开始的前50步

随机运动的极限

尽管随机运动在表示随机运动空间方面做得很好，但这些运动都是离散的。自然界的运动（例如液体中的微粒或股票市场的运动）是连续的。

所以，定义布朗运动的下一个步骤就是使随机运动连续。有一种简单的方法可以使用称为唐斯克不变原理的中心极限定理

下面给出了这个定理的确切表述，并且有些技术性，但它是一个从随机运动构造布朗运动的基础。

中心极限定理

设X_1，…，X_n是均值为0、方差为1独立同分布的随机变量。用方程定义随机运动。

其中t在区间[0,1]内。对于每一个t，都存在一个极限W(t)满足：

• 随机运动的极限的维纳过程。

定理的解释

W(t)的极限叫做维纳过程，实际上是布朗运动。通过调整随机游走的大小，我们把它“挤”进区间[0,1]，从某种意义上说，这使得随机运动连续。

我们可以想象当n变大时W_n(t)是什么样的。

• 维纳过程。

总结

我们构造了简单的布朗运动作为一维随机运动的极限。简要介绍了维纳过程和随机运动的重新标定。虽然我们把自己限制在一维，但我们可以模拟任意维度的布朗运动。同样，这个构造是基于随机运动的，但是还有其他方法用来构造布朗运动。欢迎评论区讨论！