惊心动魄的古希腊数学史，第一次数学危机和欧几里得公理化体系

古希腊的数学家对后来世界的数理化发展和实用学科的进步做出了巨大的贡献，从几何到工程，从地理学到天文学。

在汲取埃及人的数学体系后，希腊的数学家们不断进步，取得突破，如毕达哥拉斯的直角三角形定理。他们通过专注数字本身，而使古老的数学问题变得清晰和明确。先驱们的方法探索，为未来的数学家和科学家提供了理论基础。

1.早期的影响（埃及、吕底亚、巴比伦、迦勒底）

希腊数学的诞生归功于它的一些邻国的影响，特别是埃及。在埃及第26王朝期间(公元前685-525年)，尼罗河的港口首次向希腊人开放，泰勒斯和毕达哥拉斯等重要的希腊人物访问了埃及，带来了新的技能和知识。爱奥尼亚除了受埃及的影响，还通过其邻国吕底亚王国接触到了美索不达米亚的文化和思想。

几个世纪后，亚历山大大帝征服了东方，希腊天文学繁荣起来。

巴比伦和迦勒底文化的天文知识为希腊数学、哲学、天文学注入了新的活力。这导致了许多希腊数学工具的发展，比如开始使用以60为基数的数字系统，这样希腊人就可以把圆分成360度。使用60作为数学系统的基数是重要进步：60是一个合数，它有许多约数(1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60)，这使得涉及分数的计算更容易处理。

埃及人对希腊数学的影响也可以从希腊关键数学术语的词源中看出。著名的希腊地理学家斯特拉博解释了单词 geometry (字面意思是“测量土地”，现代意思是“几何”)的起源如下：

（尼罗河的洪水不断地冲刷土壤，改变地貌的配置，我们必须一次又一次地进行测量，他们说这是几何学的起源……）

2.早期的成就（直角三角形）

希腊人的数学知识是如何发展到超越埃及文明的地步的呢？

早在公元前3500年，埃及人(还有巴比伦人)的数学是世界上最好的。埃及人将他们的数学知识主要用于工程目的，没有它们，就不可能建造大金字塔和其他令人叹为观止的纪念碑。

希腊人从埃及数学中得到的主要是经验法则和具体应用。例如，埃及人知道，边数为3:4:5 的三角形是直角三角形。

这是因为，为了形成直角，埃及陆地测量员使用了一根分成 12 等份的绳子，形成了一个三角形，其中一边是 3 份，另一边是 4 份，第三边是 5 份。在 3 和 4 的边相接的地方可以找到直角。这是形成直角的一种非常实用的方法。

我们没有找到埃及关于进一步分析这一问题的资料。埃及人太注重实用了，他们的兴趣仅限于这种方法的实际应用，而不去仔细分析为什么。

一个来自爱奥尼亚的希腊人看着 3:4:5 的三角形，看到了其他人似乎没有注意到的东西，他的名字叫毕达哥拉斯，他把 3:4:5 的三角关系扩展到逻辑极限，引发了一场智力革命。

毕达哥拉斯(公元前571年-公元前497年)是一个特殊会社的领袖和创始人，其追随者被称为毕达哥拉斯学派。这个学派的成员相信宇宙可以用整数来描述：1、2、3、4 等等。基于 3:4:5 三角形的埃及经验，毕达哥拉斯提出了一个以他的名字命名的数学定理：毕达哥拉斯定理。

为什么这个定理如此重要？因为它展示了一些以下重要技术的跨越式发展。

（1）抽象的技术

无论它是一根绳子、一块木头还是任何其他的物理物体，都无关紧要。这一切都是关于“直线”的性质，以角度连接，仅此而已。这些线条只是简单的实体。抽象的过程就是去除所有非本质的元素，只考虑基本的东西。

（2）通用化技术

毕达哥拉斯提出的定理不仅适用于3:4:5三角形，而且适用于任何其他直角三角形，此外，该定理还表明，当且仅当最长边的平方与其余两条边的平方之和相等时，三角形就是直角三角形——直角位于两条短边相交的地方。

（3）推理的艺术

通过一般陈述或前提，推理其逻辑含义得出结论。

（4）数学的演绎动态

通过演绎推理和归纳的结合，数学不再被视为一组静态的规则，而是一个能够复杂发展的动态系统。

我们要感谢毕达哥拉斯及他的追随者，完成了这些在数学领域的重要创新。

毕达哥拉斯在数学中发现的美与和谐是如此强大，以至于希腊科学最终被一种强烈的数学偏见所污染。

换句话说，希腊人开始相信，演绎推理不仅在数学上能取得令人难以置信的成功，它也是在其他学科中获得知识的唯一方法。人们低估了观察，推演成了王道，希腊的科学知识在除了精确计算以外的几乎所有领域都被引入了死胡同。这种对数学的高估可以从盖伦的一句话中看出：

（时间会导致悲伤和其他情绪的改变，但不会通过“二乘二等于四”或“所有半径相等”，来改变一个人的情绪。）

3.第一次数学危机：2的平方根

毕达哥拉斯定理成立后，有人提出了以下问题：如果我们有一个正方形，每个边的长度为一个单位，并且我们还有一个第二个正方形，其面积是第一个正方形的两倍，那么第二个边的边长该是多少？

这是关于2的平方根的问题的由来。

今天我们知道2的平方根是一个无理数，这意味着它不能用任何简单的分数表示。但是，希腊人并不知道这一点，因此他们一直试图解决这个难题，并提出了有效的答案。

毕达哥拉斯人尝试了，但解决不了这个难题，最终他们面对了这样一个现实：两个整数之比不能表示2的平方根的值。

毕达哥拉斯人谨慎地隐藏了无理数的秘密。原因是它会对毕达哥拉斯学派造成根本性的冲击。

关于毕达哥拉斯圈子的一个成员透露了有一个有趣的说法（其历史准确性尚不确定），即一个成员向毕达哥拉斯学派以外的人透露了秘密，这个叛徒被扔进深水淹死。

无理数的危机促使毕达哥拉斯学派想通过各种巧妙的方法来逼近2的平方根值。然而，在多次尝试求2的平方根失败后，希腊人别无选择，只能接受算术不是数学的基础。他们不得不找别的地方，于是他们开始研究几何学。

4.中期的成就（欧几里得数学公理化体系）

欧几里得（Euclid ，公元前325-前265年）是一位古希腊数学家，居住在亚历山大。他熟悉他之前从事的所有希腊数学工作，因此他决定将所有这些知识组织在一个连贯的工作中。

这项总结性的工作所成之书被命名为《元素》（《The Elements》，后发展为《几何原本》），是有史以来第二畅销的书籍，仅次于《圣经》。

（欧几里得元素的第一个英语版本，1570年）

《元素》被记住主要是因为其几何定理。第一本书的开头是对基本几何形状的不同定义：

1.一个点是没有意义的。

2.一条线没有宽度。

3.线的末端是点。

4.直线就是这些点均匀地位于其上形成的线。

5.表面是只有长度和宽度的表面。

6.表面的末端是线。

欧几里得的《元素》中并没有什么原创的东西(他只是一个集大成者)。然而，命题的顺序和整体的逻辑结构的工作很大程度上是欧几里得的创造。毫无疑问，它是有史以来最重要和最具影响力的书之一，也是希腊知识传统的杰作。

5.数学严谨性在希腊数学中的重要性

希腊人了解某种程度上埃及人无法理解的东西：数学严格性的重要。

例如，古埃及人将一个圆的面积等于一个正方形的面积，该正方形的边长为圆直径的8/9。从该计算的角度来看，数学常数pi的值为256/81。这是一个非常准确的计算（误差约为百分之五），但在数学上是错误的。

但是，就埃及工程学而言，这半个百分点的误差实际上并不重要，否则它们令人印象深刻的纪念碑很久以前就会倒塌。但是，忽略这一半的误差会忽略π真实值的基本属性。

埃及人还简约地表达其他数字，例如平方根2的值（分数为7/5）。通过使用四舍五入的值，埃及人并未注意到这些数字的非理性本质。希腊人沉迷于数学上的严谨；对于他们来说，四舍五入是不够的，他们沉迷数学语言的严谨性。

通过不放弃追求数学准确性的努力，希腊人终于发展了公理化体系，与天文学一起，都是古希腊知识中成就最令人钦佩的纪念碑。