小学数学“不解之谜”：困扰千万小学生的“鸡兔同笼”

当我还是个不谙世事的小学生时，我练字、阅读、学好数学，争做五讲四美、每门成绩都是90+的优秀少先队员。强者总是孤独的，就在我以为我会在成绩的山巅孤独地度过小学生涯时，我遇上了一生之敌——鸡兔同笼问题，也是这个比我太太太太爷爷活得都长的著名题型，让我第一次怀疑我是不是不适合学数学。

即使后来，我学习了解方程式，鸡兔同笼再也不能威胁到我，可我仍旧不理解小学数学老师讲的“半足法”。让鸡立起1只脚，让兔子长出两个头，这个场景带给我的不是解题思路，而是略带滑稽的恐怖。

终于我决定再次揭开小学时的伤疤，潜心研究老祖宗传下来的鸡兔同笼解题方法。大家先跟着我，了解一下鸡兔同笼的历史溯源吧。

一、《孙子算经》半足法解“雉兔同笼”

“鸡兔同笼”问题最早记载于公元3、4世纪的《孙子算经》，其中的叙述为“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉兔各几何”。“雉”是野鸡的意思，这段话是说，笼子里有鸡和兔，一共有35个头，有94只脚，问鸡和兔各有多少只。

《孙子算法》的解法就是我们常说的“半足法”，上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头即得。”

总足数94取半成为47，此时相当于所有鸡都成为了金鸡独立的“独足鸡”，所有兔都站立起来成为了“双足兔”。此时每只鸡的头数和足数都是1，每只兔的头数是1，足数是2，所以用47减去总头数35就得到兔的只数是12。最后用总头数35减去12就得到鸡的只数。

二、《算法统宗》倍头法解“鸡兔同笼”

“鸡兔同笼”问题后来又收录于明代程大位（1533-1606年）所著《算法统宗》第八卷的“少广章”， 其中对问题的叙述把“雉”改为了“鸡”，因此“鸡兔同笼”的说法沿用至今。

《算法统宗》中对问题给出了两种算法，第一种算法的过程是：

第一步：“置总头倍之得七十”，意思是将总头数35加倍，也就是乘2，得到70；第二步：“与总足内减七十余二四”，也就是从总足数94中减去70得到24；第三步：“折半得一十二是兔”，将24折半（也就是24除以2），得到12，这就是兔的只数；第四步：“以四足乘之得四十八足”，用每只兔的足数4乘12，得到兔的总足数48；第五步：“总足减之余四十六足为鸡足”，用总足数94减去兔的总数48得到46，就是鸡的总足数；第六步：“折半得二十三”，将鸡的总足数46折半（46除以2），就得到鸡的只数为23。

另外一个算法是先求鸡的只数，与前面先求兔只数的程序基本相同。

书中对该算法的叙述为：“倍头减足折半是兔”，“四头减足折半是鸡”。

第一句话的意思是把求兔的只数的过程分为了倍头、减足和折半三个步骤，“倍头”就是把总头数35加倍变成70；“减足”是用总头数94减去70得到24；“减半”就是取24的一半得到兔子的只数为12。这个过程写成如今的算式就是：

（94-35×2）÷2=12（只）

第二句话的意思是把求鸡只数的过程分为了四头、减足和折半三个步骤，“四头”就是用4乘总头数35得到140；“减足”是用140减去总足数94得到46；与求兔只数的过程类似，“折半”就是取46的一半得到鸡的只数23。写成算式就是：

（35×4-94）÷2=23（只）

这种算法也被称作“倍头法”。

其实，如今再看这两种算法，很轻易就理解了。只是对于绝大部分数学基础尚且十分薄弱的小学生来说，他们很容易被这两种解释绕晕，陷在思维的迷雾中不知所措。

无论是《孙子算经》的半足法，还是《算法综述》的倍头法，都是“只叙术，不讲理”。哪怕孩子们按照算法流程计算出了正确答案，也不一定明白其中的操作原理。由此我们也可以得出一个学习数学的启示：想要学好数学，一定要对一类题型进行概念性理解，所谓万变不离其宗，只有做到了解其本质原理，我们才有可能在面对各种衍生、变种题型中游刃有余。