文科立体几何求体积题目中常用的转化法

在使用全国卷的省份中文科数学立体几何大题第二问一般是考查与体积相关的问题，有关体积的求法常用的思路有以下三种：

1.选择适合的面作底，合适的线段作高直接求出体积，或者通过辅助线作出所需的高线，求出所需的长度。

2.割补法

3.转化法

今天重点说一下转化法中的类型，具体题目不再给出，手头上也没有对应配套的题目

转化一：转化顶点法

这里的转化顶点法又可以分为两种，第一是不改变锥体的顶点，通过转化顶点可以将一个不好求体积的锥体转化为规则的可求体积的锥体，例如三棱锥P-ABC可转化为A-PBC,第二，转化顶点法也可以改变本来锥体的顶点，比如让求三棱锥P-ABC的体积，但是高并不好求，即便是转化顶点也不好求，那么我们可以把顶点P放到一个与底面平行的平面上，在这个平面上的任意一点到底面的距离都是高而且每条都相等，这样在从中选取一个容易求高的点即可，此时三棱锥P-ABC的体积可转化为Q-ABC，例如下面的题目：

在正方体ABCD-A'B'C'D'中，点F和点E分别是CD和BB‘的中点，求三棱锥E-A'D'F的体积，在本题目中即可使使用转化顶点法也可以使用转化底面法，如果转化顶点，若选取CC'的中点G，因为EG∥平面A'D'F所以点E和点G到平面A'D'F的距离都相等，所以都可作为三棱锥的高，如果转化之后，体积即为三棱锥G-A'D'F的体积，很容易求出。

转化二：转化底面

依旧利用上题的图像，转化底面的意思是将底面三角形扩大，从扩大的平面内找到一个与原来底面面积相等的三角形，这样既保证了底面积不变同时保证了高不变，如下图，题目中我们就可以将三角形A'D'F延伸，因为三角形A'GF和三角形A'D'F全等且共面，因此体积可以等价于三棱锥E-A'FG的体积，很容易求出

转化三：根据比值进行转化

这种转化方式很容易理解，例如在四棱锥P-ABCD中，可以将底面拆分成两个三角形的和，或者利用相似能够得知两个三角形边长或面积的比值，加之同高，所以求得其中一个一个小三棱锥的体积即可求出整个的体积，举一个文科数学中考过的题目为例：

如下图：四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°

(1)证明PB⊥AD

(2)若PB=3，求四棱锥P-ABCD的体积

题目中第一问很容易证明，如果我们把第一问当做结论，在第二问中AF并不是四棱锥的高，所以我们可以通过辅助线作出四棱锥真正的高线，这种方法不再给出，但是如果不通过辅助线能否直接求出体积？

如果连接BD，底面ABCD可拆分成三角形ABF和四边形BFDC，很容易得知ABF和BFDC的面积是1：4，另外在三棱锥P-ABF中因为AF垂直平面PBF，所以我们可把AF当做三棱锥A-PBF的高，三角形PBF作底，即可求出体积，从而求出整个的体积，这种方法也算是割补法中的一种，只是把一个不容易求得的锥体体积转化到另外一个可求体积的锥体中。

最后：有学生可能会问到在第二个转化过程中如果把三角形面扩展之后面与边长的交点位置如何确定，其实这个问题很简单，看下图：

如果把三角形面ABC扩展，我们可以选用一条边BC，因为经过BC的平面有无数个，而其中只有一个与ABC共面，因此我们从B点或C点做一条与AC或AB平行的直线，从上面找点即可，这样就可以保证延伸之后的面与ABC依旧保持共面。