许兴华——挑战极限:排列组合应用题难题精选~做对12题你就是学霸啦！
（南宁三中 许兴华数学）
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在高中数学的教与学的过程中，我们在学习排列组合应用题这个内容的时候，大家有时候碰到一些应用问题，是比较难解的。同学们，下面呢，许老师就来精心挑选出15个题目，看看你是否可以做对12题以上?如果你能做对12题以上（含12题），那你就是数学学霸啦！哈哈哈！认真做做这些数学题，也许可以逐步提高数学思维能力。你们觉得是吗？
我们把这15个题目分为5大关：每关3个题目!
【第一关】初出茅庐识数学，小荷才露尖尖角
【题1】如图所示，某街区有7条南北向街道，5条东西向街道，问：
（1）图中共有多少个矩形？
（2）从A点走到B点最短的走法共有多少种？
(3)从A点经M点走向B点最短的走法共有多少种？
【第二关】几何排列组合题，想像能力谁能敌？
【题4】如图所示，四面体的顶点和各棱中点共10个点，在这10个点中任取4个点，总共可以构成多少个不同的三棱锥？
【题5】如图所示，在正五棱柱中，总共有10个顶点，从这10个顶点中任取两个顶点即可构成一条直线，那么？所有这样的直线中，一共有多少对异面直线？（例如，图中的AB与C1D1就是一对异面直线）
【题6】如图所示，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于4×2×3的长方体框架（由24个棱长为一个单位长度的正方体框架组合而成）。一位建筑工人从A点沿脚手架爬到点B，每步走一个单位长度，而且不连续向上攀登，那么，其行走的最近路线共有多少条？
【第三关】排列组合数学题，掌握技巧能破敌！
【题7】把参加数学竞赛的20个名额，全部分配给2、3、4、5班，要求每班所得的名额数，不小于本班的班号数（例如2班至少2个名额，4班至少4个名额），那么总共有多少种不同的分配方法？
【题8】把10位新老师，全部分给6所学校，每所学校至少一名，一共有多少种不同的分配方法？
【题9】在三棱台ABC-DEF中，如果我们有4种不同颜色的小球（每种颜色的小球有足够多），现要在如图所示的6个顶点A、B、C、D、E、F上各装一个小球，要求同一条线段两端的小球不同色，那么每种颜色的小球都至少用一个的安装方法一共有多少种？
【第四关】排列组合陌生题，细致观察巧制胜！
【题10】在1,2,3,…,30这30个数中,每次任取两两不等的三个数,使它们的和是3的倍数，那么，共有多少种不同的取法？
【题11】如果我们用a代表红球，b代表篮球，c代表黑球.由分类计数原理及分步计数原理，从一个红球和一个篮球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来.例如，“1”表示一个球都不取，“a”表示取出一个红球，而“ab”则表示把红球和篮球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可以用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的篮球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法是（ ）
【第五关】勤学好问多练习，熟能生巧破难题！
【题13】现有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.若从中取出6张卡片，排成三行三列，要求三行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，那么不同的排法总数共有多少种？
【题15】如图所示，把一个圆面分成16等分的区域，现用4种不同的颜色给这16个区域涂色，要求任何两个相邻的区域(指具有公共边的区域)的颜色都不相同，那么一共有多少种不同的涂色方法？
【附】挑战极限闯关问题详解：
【第一关.问题详解】
【第二关.答案】
【题5解答】
如上图所示，每个三棱锥（例如三棱锥C 1-ECD）有3对异面直线，所以我们只需考虑从10个顶点中任取4个顶点可以构成多少个三棱锥即可，故10个顶点共可构成 三棱锥：
【第三关.答案】
如图，第一步：先分配给2班、3班、4班、5班各1个、2个、3个、4个，有一种分法，这样已经用去10个名额。现在第二步，再将剩下的10个名额分配给4个班，每班至少一个名额。10个名额相当于10个相同的小球，用3块隔板分成4个部分（每部分至少一个），即将10个小球排成一列，每两个小球之间总共有9个空位，从9个空位中任选出3个空位放3块隔板，故
（上式请读者自己计算出结果！）
【第四关.答案】
【第五关.答案】
【题15】【解答思路】先把16个区域改为一般的情况：即共有n个区域，（如图所示）先从区域1开始涂色，然后按顺时针依次涂色，保证和相邻的前一个区域颜色不同，当涂色到第n个区域时也有3种涂法，若第n个区域的颜色和1不同，满足条件，若第n个区域与区域1的颜色相同，则把这两个区域看成一块，相当于n-1区域的颜色互不相同，故得出递推式．
在上述的答案an中，直接令n=16，即可得到答案。
（说明：上图中题15的解法部分内容直接引用了《小洋人数学》中陈杨仁老师的解答，在此特表示衷心的感谢！）
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