数学和物理哪个更纯碎、更深刻？

我读过很多数学家、物理学家和哲学家关于物理学是基于数学还是数学来源于物理的争论。关于数学和物理之间的关系，有很多可以追溯到几百年（或几千年）以前的历史，尽管这很有趣，但我不想在这里做过多的总结。

物理学已经取得了很大的成功，尤其是在过去的四百年里，这要归功于我们的世界是如何用数学关系来描述的。我们目前对支配我们宇宙的物理定律的理解包括两个伟大的理论：广义相对论和量子力学（也许还有热力学）。

广义相对论通过利用张量微分来构建时空曲率方程，描述宇宙中质量（能量）之间的相互作用（引力）。另一方面，量子力学用强化的线性代数和概率描述了自然界中其他力的相互作用（电磁力、弱核力和强核力）。我们最好的物理理论是用数学写的。

物理学和数学之间的历史联系并不是单向的：物理学经常是新数学发展的驱动力。举个例子：牛顿决定发明微积分，因为他需要用微积分来描述引力和运行的原理。基本上，在物理和数学之间有一种健康而有趣的关系。

在物理学家和数学家之间，似乎存在着一些重大的分歧，关于这两个学科中哪一个“更纯粹”或“更深入”。

彭罗斯的概念图（下图）很好地说明了如何开始思考这个棘手的问题。基本上，下图所示的概念是类似于一个同构，从客观的物理世界到我们的“精神世界”，从我们的“精神世界”到“数学世界”，从“数学世界”到“物理世界”。这个“数学世界”和“物理世界”一样真实吗？物理世界来自数学吗？

• 彭罗斯对事物的看法：三个世界（柏拉图式的数学、物理和精神）以及它们之间的关系。

首先，我要提出一个核心假设：存在一个客观的真实世界，而不仅仅存在于我们的头脑中。我们理解宇宙的方式并不会改变它的运作方式。

在这个假设之上，还需假设在物理宇宙中存在规律。在这里，我们有必要明确区分用数学公式写下来的宇宙法则和宇宙的实际运行方式（它们是不同的）。数学是我们对物理世界理解的一部分。它们给我们提供了一种方式来理解我们在物质宇宙中看到的行为模式，但不是物质相互作用本身。

同样，我将使用以下“一致性”和“完整性”的定义：

一致性：在一些可以想象的世界里，当每一个定理，在解释之后，都变成了真的。

完整性：在一些可以想象的世界中，当所有的陈述都是真实的，并且可以被表示成系统的格式时，就是定理。

——道格拉斯·霍夫施塔特《哥德尔、埃舍尔、巴赫》(101页，1999年再版)

另一个值得定义的术语是“语言”，其定义为：在符号与意义/概念/信息之间形成“映射”的某种编码/解码系统。

正常的人类语言（如：汉语、英语、德语）是相当模糊的。词汇反映了我们头脑中的概念、想法或共识，反之亦然。

形式语言（例如：我们数学符号，计算机编程语言）则不具有模糊性。形式语言是一个严格定义的符号系统，用于编码、解码信息和描述关系。形式语言遵循精心设计的规则，这些规则是根据要使用的正式语言而选择的。形式语言通常被认为是用数学来定义的。我认为数学本身是一种形式语言。

许多物理学家和数学家都认为，我们生活的宇宙，包括我们自己，实际上是某种数学结构。我们不要把抽象概念（数学）与真实事物（物理宇宙）混淆。

数学毕竟是人类思想的产物，是独立于经验之外的，怎么能如此令人钦佩地适用于现实的对象呢？——阿尔伯特·爱因斯坦，《几何与经验》(1921年)

为什么数学是这样的？我认为我们用来描述物理和物理宇宙的数学是基于宇宙的运作方式。诸如技术、连续性等概念隐含地基于物理宇宙的运作方式。当我们开始理解这些概念时，我们迫使数学成为一种具有这些规则的形式语言。数学，或者至少是可以应用于物理宇宙的数学部分，符合自然法则的假设和规则。由于数学是一种形式语言，并且有严格的一致规则，我们可以仔细地构造一致的论据来找出这个系统可以描述的东西。我们可以在一个给定的数学系统中“发现”新的关系。

有其

如果自然构造不同，我们就会有不同的数学来描述它。数学公理的起源最终是自然本身。自然本身是哥德尔不完备性定理所适用的某种形式系统吗？我不太确定。但是我们的物理理论，如果它们在数学上是一致的，那么不幸的是，它们将是不完整的，因为我们不能从一个单一的原理推导出它们。如果有一天我们真的发展出一个宇宙的终极理论，这个理论是自洽的，并且能够描述/预测宇宙中发生的每一件事，那么它的基础必须包含多个自我参照公理。如果我们对物理的数学理解是代表一个终极的物理理论，而我们想要它具有形式语言的理想特征，我们就会陷入某种自我参照的假设中。

数学作为从我们头脑中构造的形式语言，必须是自我参照的，因为我们的大脑只能作为一个参照实体存在。我们所知道或理解的每件事在某种程度上都是通过参照来定义的（在某种意义上，我们只能处理类比）。这是因为我们的大脑是由相互连接的神经元组成的。无论概念信息是由单个神经元还是一组神经元存储的，概念总是与我们知道和理解的其他事物相关。值得庆幸的是，我们有了自己的外部感官，我们可以通过它与外部世界进行互动并更好地理解外部世界。

• 神经网络利用神经元之间的连接来存储信息。

是否存在具有不同数学的宇宙？也许吧。基本模式（结构、规律）的存在意味着某种逻辑可以建立在它的基础上。一个有着不同物理定律的宇宙会是什么样子，对我来说是完全不可想象的。

一个关于其他宇宙可能存在的有趣想法，来源于宇宙马克斯·泰格马克的“数学宇宙假说”:

学就

抽象数学是如此的普遍，以至于任何可以用纯粹的形式术语（独立于模糊的人类语言）来定义的万物理论也是一种数学结构。例如，涉及一组不同类型的实体和它们之间的关系的系统，就是数学家所说的集合理论模型，通常可以找到一个正式的系统，它是一个模型。

我个人认为数学是一种构造好的形式语言。描述一个给定的宇宙的最好的数学系统将取决于那个宇宙和其中的智慧生命。我们人类创造的任何数学最终都是在我们的头脑中想象出来的。如果宇宙以不同的方式运行，我们就会发展出一套不同的数学来匹配宇宙的运行方式。从这个意义上讲，我们可以认为数学是被发明的。

如果数学是被发明出来的，这就意味着纯数学确实是哲学的一个领域或延伸。也就是说，我认为纯数学是一个非常值得追求的领域。我们可以将其应用到物理宇宙中，是因为我们假设指导数学系统的创建是基于现实中我们发现自己的本质。

物理之于数学，就像性之于手淫。——理查德·费曼

宇宙是由极其一致的规律创造的。几乎就像它们是被设计好的一样。物质/能量如何运动的这些规律意味着宇宙有一种事物如何运作的逻辑。我们使用一个正式的系统来编纂这些规则，它有一定的假设和公认的规则，即一个数学系统。我们用科学的方法来雕刻这些规则，使其与观测结果越来越吻合。

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