很多数学爱好者最喜欢做的事情之一就是证明存在无穷多个素数（质数）。在大多数情况下，希腊数学家欧几里得在公元前300年左右给出证明最为经典，在他的《几何原本》的第9卷中可以找到。
自从欧几里得发表他的证明以来，2000多年过去了，人们已经找到了其他方法来证明存在无穷多的质数。其中一些是重申欧几里得方法的巧妙，还有一些利用了欧几里得时代不存在的数学新分支。
这里有六种方法可以证明质数有无穷多个。我们将从欧几里得的经典证明开始，然后依次介绍其他证明。
01欧几里得方法
- 欧几里得《几何原本》的片段
欧几里得：对于任何有限的素数列表，至少有一个素数不在这个列表中。
首先我们需要一个简单的支撑结论：
引理1.1：对于任意三个整数a, b和c，如果a能整除b且a能整除c，那么a也可以整除b﹣c。
证明：令b=am，c=an（其中m，n为整数），那么b-c=am-an=a(m-n)，由于m-n也是整数，所以a能整除b-c。
这就是欧几里得的证明所需要的。
定理1.2：如果是素数的有限列表，则存在一个素数不在这个列表中。
证明：令数字P为列表中所有质数的乘积，并考虑数字P + 1，如果P +1是质数，我们证明了定理1.2。因此，假设P +1不是素数。然后P +1可被一些较小的质数p整除。如果p在我们的列表中，则p能被P + 1和P整除。根据引理1.1，则p还必须可以整除P + 1﹣ P，也就是p能整除1。由于这不可能，因此p不能在列表中。
02埃尔米特法
埃尔米特（约1860年）：对于任何正整数，都存在一个比它大的素数。
法国数学家查尔斯·埃尔米特的这一证明与欧几里得的方法一样简单。
定理2.1：对于任何n> 1的整数，如果p是n！+1的质因数，那么p> n。因此，有无限多个素数。
证明：如果p≤n，则p能整除n！。但是p也能整除n！+ 1，所以由引理1.1得出，p能整除n！+ 1﹣n!。所以 p能整除1，这是不正确的，所以p> n。
03戈德巴赫法
戈德巴赫（1730）：因为无穷多个费马数，所以质数有无穷多个。
费马数的形式如下：
前四个费马数是3、5、17、257，然后很快就变得很大。
首先，我们需要一个有关费马数的有趣理论：
引理3.1：对于任何正整数m
通过归纳法证明。
现在我们可以证明任何一对费马数都是互质的，这意味着它们没有任何共同的质因数。
引理3.2：费马数对都是互质的。
证明：取两个费马数F_u
p，那么根据引理3.1， p可以整除F和 F_v﹣2。因此，根据引理1.1，p将能整除F_v﹣（F_v﹣2），因此p能整除2。但是由于费马显然是奇数，所以这不可能成立，因此两个费马数必须互质。
现在，这可以轻松证明主要结论。
定理3.3：有无限多个质数。
证明：存在无限多个费马数，并且每个数都有不同的质因数，因此有无限多个素数。
有趣的是，哥德巴赫关于素数的猜想是数论中最简单（形式）的猜想之一，但至今仍未解决。哥德巴赫猜想指出，大于2的任何偶数都可以表示为两个素数之和。
04Filip Saidak法
Filip Saidak（2005）：可以构造一个无限的数字集，每个数字都包含一个新的素数。
这是一个非常漂亮的证明，可以轻松地从一些早期结论中得出。
首先，欧几里得证明中的一个结论是，对于任何n> 1的正整数，n和n +1是互质的。
定理4.1：有无限多个质数。
证明：令n为大于1的正整数。由于n和n + 1是互质的，则n（n + 1）必须至少具有两个不同的质数因子。同样，n（n + 1）和n（n + 1）+1是互质数，因此n（n + 1）（n（n + 1）+1）必须包含至少三个不同的质数因子。这可以无限扩展。
05弗斯滕伯格法
- 希勒尔·弗斯滕伯格
弗斯滕伯格1955年）：如果质数有限，则可以构建不可能的拓扑
到目前为止，这是最简单的一种方法，如果您从未研究过拓扑结构，则可能是最难掌握的。
让我们在整数集上定义一个拓扑，如下所示：
定义5.1：集合U是一个开放集，当且仅当它是一个空集或它是形式为S（a，b）的集合的并集，对于所有整数n且a≠0，S(a, b)是an+ b的等差级数，。
可以很容易地证明这种构造是有效的拓扑，因为它满足三个公理：空集和所有整数的集都是开放的，开放集的任何并集都是开放的，开放集的任何有限交集都是开放的。
定理5.1：有无限多个质数。
证明：考虑上面定义的拓扑。注意：
1. 在任何拓扑中，开放集的补集都是封闭集，在这种拓扑结构中，有限非空集的补集不能闭合。
2. 集合S(a, b)根据定义是开的，但它们也可以写成开集的补集，因此它们既是开集又是闭集：
现在，因为除了-1和1以外的所有整数都是素数的乘积，我们可以得出结论，对于某个素数p，它们必须在集合S(p, 0)中，因此：
左边的集合是有限集合{- 1,1}的补集。现在，如果有有限多个素数，那么右边就是一个有限的闭集的并集是闭集。这就产生了一个矛盾，所以必然有无穷多个素数。
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