CFA一级考试固定收益：债券收益和利率风险

科目：CFA一级考试 固定收益

知识点：债券收益和利率风险

级别：难点，必考

详述：

收益来源

固定收益证券的收益有三个来源：

利息和本金的回收；

利息的再投资收益；

资本利得或资本损失（债券只有在到期日之前出售才能产生资本利得或资本损失，债券被持有至到期时不会产生资本利得或资本损失的）。

持有期收益率的五个重要结论及其证明

债券的票面利率和YTM都不是投资者投资债券的收益率，投资者投资债券的收益率应该用持有期收益率（annualized rate of return/holding period yield, HPY）来衡量，持有期收益包括以下几个方面：利息收入、利息再投资收入、本金或售价。我们只要知道期初的投资金额以及持有期结束时的总收益，就能计算出投资者的持有期收益率，公式为：

式中：

通过上式求得的持有期收益率并不是年化的持有期收益率，因此还要对持有期收益率进行年化，公式为：

上面公式中的r就是我们需要的年化的持有期收益率。

持有期收益率的五个结论

久期

利率上升，债券价格下降；利率下降，债券价格上升。所以债券价格是利率的函数，假设有一个简单的一元一次函数：Y=aX，当自变量△X变化时，因变量Y变化a△X，其中的a是因变量Y对X变动的敏感性系数，a越大，Y对X的变化越敏感。在这里，我们可以把债券价格看做因变量Y，把利率看做自变量X，那么我们就需要找到债券价格对利率变动的敏感性系数a，这个a就是久期。

麦考林久期

麦考林久期是债券的每次票面利息或本金支付时间的加权平均期限，权重是每次支付的现金流的现值（全价）占总现值（全价）的比重。

麦考林久期的计算公式：

式中：

关于麦考林久期，我们需要记住以下3条结论：

附息债券的麦考林久期小于债券的期限，麦考林久期可以看作债券的平均还款期。

假设别人欠了我们400元，还款期限为2年，有两种还款方式：第一种方式每年还款200元；第二种方式在第二年年末一次性还清400元，问这两种方式的平均还款期分别是多少。首先对于第二种方式，平均还款期就是2年。对于第一种方式，由于在第一年已经还了200元了，那么它的平均还款期一定小于2年。

麦考林久期可以衡量债券的平均还款期，所以附息债券的平均还款期要小于债券的期限。

零息债券的麦考林久期等于债券的期限。

假设有一只期限为3年，面值1,000美元的零息债券，那么它的麦考林久期计算公式为：

因为这只债券是零息债券，所以，

所以：

所以，零息债券的麦考林久期等于债券的期限。

麦考林久期并不是衡量利率风险的指标。

修正久期

修正久期是对麦考林久期的修正，它等于麦考林久期除以（1+r），公式如下：

这个修正久期可以用来衡量债券的利率风险。

这个公式告诉我们债券价格和利率之间存在着线性关系（linear relationship），修正久期是对利率风险的线性估计，如果告诉我们债券的修正久期、利率的变化量，我们就可以求出债券价格的变化率或变化量。

近似修正久期

如果麦考林久期已知，那么很容易计算出修正久期；当麦考林久期未知时，我们可以用近似修正久期（approximate modified duration）来估计修正久期。近似修正久期的公式如下：

式中

有效久期

有效久期衡量了债券价格对于基准利率变动的敏感性，它属于曲线久期。有效久期的计算公式如下：

其中△Curve表示基准利率曲线的平行移动量。

除了分母中的利率变化量不一样之外，有效久期的计算公式和近似修正久期的计算公式非常相似，此外有效久期可以用来衡量含权债券的利率风险。

对于含权债券来说，它的未来现金流是不确定的，所以含权债券没有一个确切的内涵报酬率（YTM），并且含权债券的未来现金流受到未来市场利率（基准利率）的影响，所以就用有效久期来衡量含权债券的利率风险。

关键利率久期

关键利率久期（key rate duration）也叫做部分久期（partial duration），它是用来衡量债券价格对基准利率曲线上的某个特定期限利率（key rate）的敏感性。

当一条基准利率曲线上的某一个特定期限的利率发生变化，而其他期限的利率保持不变的情况下，这条利率曲线的形状会发生变化，所以关键利率久期又衡量了债券的形状风险（shaping risk）：由于利率曲线形状发生变化而带来的风险。

货币久期

我们通过数学推导得到了债券价格变化率与利率变化量之间的关系：

将这个公式进行变形，得到：

其中修正久期乘以债券的价格（全价）：就叫做货币久期，P可以是一张债券的价格，也可以是几张债券的价格。

基点价格

利率变化1个基点时，债券价格的变化量就叫做基点价格（present value of a basis point, PVBP）。

当利率下降0.01%，债券的价格为；当利率上升0.01%，债券的价格为，那么

就表示利率变化0.02%时，债券价格的变化量，那么就是利率变化0.01%（1个基点）时债券价格的变化量，所以也是基点价格的计算公式。

影响久期的因素

零息债券：零息债券的麦考林久期等于期限，所以零息债券的麦考林久期和期限之间的关系是一条45度角的直线。

永续债券：永续债券没有到期日，它的麦考林久期：。

溢价或平价发行债券：债券期限越长，久期越大。

折价发行债券：期限越长，可能导致久期变小。

凸性

凸性的内在含义是利率下降一定的百分比所导致的债券价格的上升幅度要大于利率上升相同的百分比所导致的债券价格的下跌幅度，概括来说，就是“涨多跌少”。

在久期中，我们得到了下面这个公式：

这个公式告诉我们债券价格和利率之间存在着线性关系，修正久期是对利率风险的线性估计，反映在图形中就是一条直线。

上图中直线表示的价格是用久期估计出来的，曲线表示的是债券实际的价格，我们会发现，当利率下降时，用久期计算出来的债券的价格要小于债券的实际价格；当利率上升时，用久期计算出来的债券的价格也要小于债券的实际价格，并且利率变化幅度越大，用久期计算出来的债券的价格偏离真实价格的距离就越远，因此，只有当利率变化幅度比较小的时候，久期才能准确地衡量债券价格的变化幅度，当利率变化幅度比较大时，我们就需要借助凸性。

当引入凸性时，债券价格的变化率公式为：

近似凸性的计算公式：

有效凸性的计算公式：