8数培优：揭秘构造平行四边形解题策略，学霸必备

行四边形具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，解决某些几何题时，若能根据平行四边形的判定，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易、化繁为简，证明过程简捷。现举例说明。策略1：利用平行线构造平行四边形1．点E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于点O，连接OF．求证：DE＝4OF．【分析】连接BE，易证四边形ABEC是平行四边形，则AB＝CD＝CE，然后证明OF是△ABC的中位线，即可证得．【解答】连接BE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，O是AC的中点，∴四边形ABEC是平行四边形，∴F是BC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，∵AB＝CD＝CE，∴DE＝4OF．2．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、BC的中点，G、H是AC的三等分点，EG、FH的延长线相交于点D．求证：四边形ABCD是平行四边形．【分析】连接BD交AC于O，连结BG，BH，首先证得四边形BHDG是平行四边形得到AO＝OC，然后利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定即可．【解答】连接BD交AC于O，连结BG，BH，∵E是AB中点，AG＝GH，∴EG是△ABH的一条中位线，∴EG∥BH，即GD∥BH，同理可证BG∥DH，∴四边形BHDG是平行四边形．∴BO＝OD，GO＝OH，又∵AG＝HC，∴AG+GO＝HC+OH，即AO＝OC，又∵BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形 3．在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点，过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．若点P在BC边上（如图1），此时PD＝0，可得结论：PD+PE+PF＝AB．请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在△ABC内（如图2），△ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明．【分析】在图2中，因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE＝AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB，在图3中，PE＝AF可证，FD＝PF﹣PD＝CF，即PF﹣PD+PE＝AC＝AB．【解答】图2结论：PD+PE+PF＝AB．证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，∵PE∥AC，PF∥AB，∴四边形AEPF是平行四边形，∵MN∥BC，PF∥AB，∴四边形BDPM是平行四边形，∴AE＝PF，∠EPM＝∠B，∠EPM＝∠ANM＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EMP＝∠EPM，∴PE＝EM，∴PE+PF＝AE+EM＝AM．∵四边形BDPM是平行四边形，∴MB＝PD．∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，即PD+PE+PF＝AB．图3结论：PE+PF﹣PD＝AB． 策略2：和用相等线段构造平行四边形4．如图，点O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，四边形OCDE是平行四边形．求证：OE与AD互相平分．【分析】连接AE，根据平行四边形OCDE的对边平行且相等，得DE∥OC，DE＝OC；再根据平行四边形ABCD的对角线互相平分得AO＝OC，即DE∥OA，DE＝OA，所以四边形ODEA是平行四边形，由平行四边形的对角线互相平分得证OE与AD互相平分．【解答】证明：连接AE，如图．∵四边形OCDE是平行四边形，∴DE∥OC，DE＝OC∵O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，∴AO＝OC．∴DE∥OA，DE＝OA∴四边形ODEA是平行四边形，∴OE与AD互相平分．5．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，E，F分别是边BC，AC的中点，试猜想DF与EC的数量关系，并证明你的猜想．【分析】由直角三角形的性质和三角形中位线定理得出AE＝1/2BC＝EC，EF∥AB，EF＝1/2AB，得出AD∥EF，AD＝EF，证出四边形AEFD是平行四边形，得出AE＝DF，即可得出结论．【解答】DF＝EC；理由如下：连接AE，如图所示：∵∠BAC＝90°，E，F分别是边BC，AC的中点，∴AE＝1/2BC＝EC，EF∥AB，EF＝1/2AB，∵AD＝1/2AB，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF，∴DF＝EC．

6．如图，在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH，求证：EG与FH互相平分（提示：可连接EF，FG，GH，HE，证四边形EFGH为平行四边形即可）．【分析】首先连接EF，FG，GH，HE，由在平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且AE＝CG，BF＝DH，易证得△AEH≌△CFG，即可得FG＝EH，继而可得HG＝EF，即可证得四边形EFGH为平行四边形，继而证得EG与FH互相平分．【解答】证明：连接EF，FG，GH，HE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，∵AE＝CG，BF＝DH，∴AH＝CF，BE＝DG，在△AEH和△CFG中，AE=CG, ∠A＝∠C，AH=CF，∴△AEH≌△CGF（SAS），∴EH＝GF，同理：GH＝EF，∴四边形EFGH为平行四边形，∴EG与FH互相平分．7．如图，在ABCD中，E、F分别为AC、CA延长线上的点，且CE＝AF，请你探讨线段BF与DE位置及大小关系如何．【分析】连接DF、BE、BD，BD交AC于O，根据平行四边形的性质得到OA＝OC，OB＝OD，进一步证出OF＝OE，得到平行四边形BFDE，根据平行四边形的性质即可得到答案．【解答】线段BF与DE位置及大小关系分别是BF∥DE，BF＝DE．理由是：连接DF、BE、BD，BD交AC于O∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵CE＝AF，∴OF＝OE，∴四边形BFDE是平行四边形，∴BF∥DE，BF＝DE．答：线段BF与DE位置及大小关系分别是BF∥DE，BF＝DE． 策略3：利用线段中点构造平行四边形8．如图，在等边三角形ABC中，P为边AB上一点，Q为边AC上一点，且AP＝CQ，今量得点A与线段PQ的中点M之间的距离是19cm，则点P与点C之间的距离等于_____　cm．【分析】如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．首先证明四边形APNQ是平行四边形，推出M与M′重合，再证明PC＝AN即可解决问题．【解答】如图，作PN∥AC交BC于N，连接NQ，连接AN交PQ于M′．∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，∴∴∠PNB＝∠ACB＝60°，∴△PBN是等边三角形，∴PB＝PN，∵AB＝AC，AP＝CQ，∴PB＝AQ＝PN，∴四边形APNQ是平行四边形，∴PM′＝QM′，∴M与M′重合，AM＝MN＝19cm，AN＝38cm，在△ABN和△CBP中，BN＝BP，∠B＝∠B，AB＝BC，∴△ABN≌△CBP，∴PC＝AN＝38cm，故答案为38cm．9．如图，已知四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点．求证：EF和GH互相平分．【分析】要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明．【解答】证明：连接EG、GF、FH、HE，∵点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，∴EG、HF分别是△ABC与△DBC的中位线，∴EG＝1/2BC，HF＝1/2BC，∴EG＝HF．同理EH＝GF．∴四边形EGFH为平行四边形．∴EF与GH互相平分．

10．如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点（不在直线AC上），∠ACB＝90°，M为AB的中点．操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME＝PM，连接DE．（1）请你猜想与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜想；（2）若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）．【分析】（1）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA＝DC，推出BE∥DC，BE＝DC，得出平行四边形CDEB即可；（2）连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA＝DC，推出BE∥DC，BE＝DC，得出平行四边形CDEB即可．【解答】（1）DE∥BC，DE＝BC，DE⊥AC，证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM＝MB，在△PMA和△EMB中，PM=ME, ∠PMA＝∠EMB，AM=BM，∴△PMA≌△EMB（SAS），∴PA＝BE，∠MPA＝∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA＝DC，∴BE∥DC，BE＝DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE＝BC．∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．（2）解：DE∥BC，DE＝BC．