高中数学归纳法在证明不等式中的应用题型总结

数学归纳法是用来证明和自然数有关系的命题的一种特殊技巧和方法,主要是用来探讨与正整数有关的一系列数学问题,其过程基本要分两个步骤：第一步是验证当取第一个初始值n0时所要证明的不等式成立,第二步是对于任意的正整数k,假设当n=k时不等式能够成立,以此来证明当n=k+1时所要证明的不等式是否成立,如果第一步和第二步都能成立,那么可以得出结论,即对于所有大于或等于n0的正整数不等式成立.

新课标中提出着重考查学生的探索和归纳能力,利用数学归纳法证明不等式,在近几年各地的高考和模考试题中已成为一个新的热点和亮点,并且基本上都以主观题的方式出现,大多数出现在最后三道大题中.因此,高考中我们想要得高分就要将它当成必须掌握的问题.

一、证明与正整数相关的不等式

【点评】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题

(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法．

(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立,推证n＝k＋1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明．运用放缩法时,要注意放缩的“度”．

二、证明与数列相关的不等式

数列可以看作一个定义域为自然数集N（或它的有限子集{1.2.3.L。n}）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.用数学归纳法证明关于数列的不等式是一种顺理成章的思路和方法.在历年的高考数列试题中大都会设置一问用数学归纳法证明某个结论或不等式问题,往往是先计算前几项,再变形（可拆可补）,进而猜想结论,最后用数学归纳法证明,此即“观察----归纳----猜想---证明”很常见的问题模式.

用数学归纳法证明与n(n∈N*)有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式,按要求进行证明；二是给出两个式子,按要求比较它们的大小．对第二类形式往往要先对n取前k个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明,即先猜(归纳推理)后证(数学归纳法)．

【点评】数学归纳法证明不等式应注意：(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法；(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立,推证n＝k＋1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明．

三、放缩技在数学归纳法中的运用

其实应用数学归纳法证明不等式,看起来很容易,但往往做起来有时会很难,其难点在于由n=k成立,推证n=k+1成立的过程中,不容易实现转化,这里可能要用到一些常见的证明方法,如作差法、作商法、分析法、综合法、反证法、放缩法等,这也是数学归纳法的核心和关键所在,也是最困难的一步,往往要多种方法相结合,而最为常见的方法和技巧是与放缩法相结合.

点评：本题考查学生的推理能力，数学归纳法和放缩法在证明不等式中应用。在运用舒徐归纳法证明不等式时，第二点是难点关键。

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