本文节选自《万物皆数：从史前时期到人工智能，跨越千年的数学之旅》，作者：[法]米卡埃尔·洛奈，译者：孙佳雯，出版社：北京联合出版公司·低音
“哲学写在这部称为宇宙的大书上，这本书永远打开着，接受我们的凝视。但要是我们不先掌握它的语言，不去解读它赖以记录的字符，那我们就不可能理解这部大书。它以数学语言写就，其字符是三角形、圆形和其他几何图形。没有这些，凡人连一个词也读不懂；没有这些，人们就在暗黑迷宫中徘徊。”
这段文字节选自伽利略1623年撰写的《试金者》（IlSaggiatore）一书，这本书可谓是人类科学史上著名的著作之一。
伽利略毫无疑问是人类历史上最高产和最具有创新精神的科学家。这位意大利的科学家被普遍认为是现代物理学的创始人。应该说，通过阅读他的个人简历，我们能由衷地涌起一种“颤抖吧人类”的感觉。他发明了天文望远镜；发现了土星环、太阳黑子、金星的周期，以及木星的四个主要卫星。他是哥白尼日心说的最具有影响力的倡导者；他阐释了物体的相对运动，直到今天我们依然用“伽利略变换”来描述相对运动的规则；他还是第一个通过实验研究自由落体运动的人。
《试金者》这本书，记录了伽利略时代的科学进展，尤其是数学与物理学之间日益紧密的关系。而在这一学科交叉的过程中，伽利略也算得上是先驱者之一。应该说，伽利略在19岁那年真的上了一所好学校，正是奥斯蒂利奥·里奇——塔尔塔利亚的学生之一——为伽利略做了数学的启蒙。在良师的指点下，伽利略将追随一代又一代科学家的脚步，了解到代数学和几何学不可阻挡的合一趋势，以及它们将成为解释这个世界的科学语言。
我们必须明确这种在数学和物理之间萌生的关联之性质。因为，虽然从人类诞生之初到现在的漫长历史岁月中，数学经常被用来研究和理解这个世界——正如我们已经目睹过无数次的那样，但是发生在17世纪的事情依然是全新的、史无前例的。在此之前，数学模型一直停留在人类结构的层面上，它始终建立在真实的现实，而不是某种由现实创造出来的规则之上。当美索不达米亚的土地测量员利用几何学来测量矩形田地的时候，这些地表之上的几何形状是测量员们绘制出来的。在农耕文明时期的人们把它们画出来之前，矩形在自然界中并不存在。类似地，虽然地理学家使用三角测量法来绘制区域地图，但是他们构思、绘制出来的三角形却是纯粹的、非自然的产物。
然而！试图用数学来解释人类出现之前就已经存在的世界却是一个完全不同的挑战！是的，在古代，有一些学者还真的试着这么做了。你或许还记得，柏拉图曾经将5个正多面体、4个基本元素和宇宙联系在了一起。毕达哥拉斯学派的门徒特别痴迷于寻找这种类型的阐释，但是我们必须意识到，他们的理论在大多数情况下根本不靠谱。因为这些理论是建立在纯粹的形而上学之上的，从来没有经过检测，最终，这些理论中的绝大多数都被发现是错误的。
17世纪的学者们将会认识到的一点是，自然根据其内在规则运转，自然被精确的数学法则控制，自然的规律可以通过重复试验的方式大白于天下。在这一时期，最显著的成就毫无疑问是牛顿发现的万有引力定律。
在《自然哲学的数学原理》（Philosophiae naturalis principia mathematica）一书中，这位英国学者首次提出，地球上的自由落体运动和天空中天体的圆周运动，都可以通过同一个现象来解释。宇宙中的所有物体都相互吸引。对于小物体来说，这种吸引力几乎无法检测出来，但是当这种吸引力产生在行星或者恒星之间，其效果将会变得格外显著。地球能够吸引地面上的物体，这就是为什么会有自由落体运动。地球同样对月球有吸引作用，在某种意义上说，月球也在“落向地球”。但是，因为地球是球体，而月球的运行速度非常非常快，所以月球永恒地处于“落在地球边上”的状态当中，这就是月球围绕地球运转的原因！正是出于同样的原因，太阳系的行星围绕着太阳运转。
牛顿并不仅仅提出了这一引力规律，他还精确地算出了相互吸引的两个物体之间的引力大小。实际上，他用一个数学公式精准地表示出了这个力。任意两个质点由通过连心线方向上的力相互吸引，该吸引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。这个规律——多亏了韦达对计算的书面化——能够写成如下的形式：
在这个公式中，字母F代表引力的强度，m1和m2分别代表两个相互吸引的物体的质量，d代表两个物体之间的距离，而数字G代表着一个固定的常数，数值为0.000 000 000 066 7。G值之所以这么小，正好解释了对于小物体来说，万有引力是很不明显的，而当涉及行星或者恒星这样具有超大质量的物体的时候，它们的万有引力则能够被感觉到。想想看，每一次当你举起一个物体的时候，都可以说你的肌肉力量比整个地球对这个物体的吸引力还要大！
一旦建立了公式，物理问题就转化为了数学问题。于是我们就能够计算天体的运动轨迹，特别是它们未来的演化情况！寻找下次日食或月食的时间，就相当于求解一个代数方程的未知数值。
在接下来的几十年中，牛顿公式将记录下大量的成就。万有引力的存在让我们能够断言，地球是一个两极略“扁”的球体，而这一点也被通过使用三角定位法测量子午线的地理测量专家们证实。不过，牛顿理论最引人瞩目的成功，仍然应该是计算出了哈雷彗星的回归周期。
自古以来，学者们就在观察和记录天空中随机出现的彗星现象。为了解释彗星的出现，还衍生了两大对立的门派。亚里士多德学派认为，彗星是某种大气现象，因此相对更接近地球；而毕达哥拉斯学派则认为彗星类似于某种行星，也就是更遥远的天体。当牛顿出版《自然哲学的数学原理》的时候，这场纷争依然没有结果，两个学派的学者们依然就这个问题争论不休。
一种证明“彗星是遥远的天体，它们围绕着太阳运转，并且具有一定的周期”的方式是：做圆周运动的物体必将周期性地回归到同一点。可惜，在18世纪初的时候，还没有任何诸如此类的规律被人们观测到。然后，在1707年，一位英国的天文学家、牛顿的好朋友埃蒙德·哈雷宣布，他可能发现了什么。
1682年，哈雷观测到了一颗彗星，第一眼看到它的时候，他并不觉得这颗彗星有什么特别的地方。然而，在1681年的时候，哈雷去过一次法国，参观了巴黎天文台并结识了卡西尼一世。卡西尼一世和哈雷讨论了关于彗星的周期性循环的假设。随后，哈雷查阅了大量的天文档案，发现其中记载了另外两次彗星的出现。其一是在1531年，其二是在1607年。1531年、1607年、1682年出现的彗星，彼此之间相隔76年，有没有可能这就是同一颗彗星呢？哈雷决定做出大胆的推测，并预言这颗彗星将在1758年再度回归。
一个需要等待数十年去证实的结论！漫长的等待不但让人难以忍受，也让人紧张焦虑。其他的学者在等待的过程中借机完善哈雷的预测结果。特别值得注意的是，有人提出需要考虑到太阳系的两颗巨行星，即木星和土星，因为这两颗行星的引力有可能会改变哈雷彗星的运行轨道。1757年，天文学家杰罗姆·拉朗德和数学家妮可–雷讷·勒波特开始着手进行一个基于亚历克西斯·克劳德·克莱罗由牛顿等式出发所创立的数学模型的计算。计算的过程漫长且乏味，这三位学者花了几个月的时间，最终预测出下一次哈雷彗星靠近太阳的时间大约在1759年的4月份，误差在1个月左右。
然后，令人难以置信的场景出现了。哈雷彗星如期而至，全世界都在天空中看见了它的身影，也见证了牛顿和哈雷的胜利。哈雷彗星在1759年3月13日来到太阳附近，正好在克莱罗、拉朗德和勒波特预测的区间之内。不幸的是，哈雷并没有能够活得足够久，亲眼见到这颗后来以他之名命名的彗星的回归。但是，通过哈雷彗星，万有引力的理论和物理的数学化用光彩夺目的事实，向世人证实了它们令人难以置信的强大力量。
讽刺的是，伽利略在《试金者》一书中，除了发表他对于世界的数学化的看法之外，还支持了“彗星是大气现象”的观点！《试金者》一书，实际上是对曾经在若干年前捍卫过相反观点的数学家奥拉齐奥·格拉西的一个回应。由于伽利略的名声和他在《试金者》一书中言之凿凿的强势态度，让这本书成了当时的畅销书之一，但是，无论名声还是成功都不是真理的必然条件。格拉西真应该对伽利略说：“然而，地球是围着太阳转的（E pur si muove）……”
在伽利略犯的这个错误之外，这则小逸事充分说明了在当时，科学的发展正强势地大踏步向前。科学的结论并不先验地取决于做实验的科学家的想法，哪怕这位科学家是伽利略。事实是不容改变的。彗星的真实属性像物理世界中的所有对象一样，不以任何人的意志为转移。在古代，当一位声名在外的学者犯了错，通常情况下，他的一众弟子还是会毫不犹豫地跟随他，权威本身就作为一种论据。即使某个错误的观点只需要一个简单的实验就能被推翻，然而往往几个世纪的时间都无法让人们自愿放弃那些错误的想法。相反，到了伽利略的时代，人们只花了几十年的时间就发现了他的错误，这的确应该算得上是科学环境健康发展的标志！
虽然人们成功地预测了一颗我们已经见过的彗星的路径，但计算一颗我们完全不了解的天体就是另外一回事儿了。说起数学在天文学领域取得的主要成就，我们还必须提到19世纪海王星的发现。太阳系的第八大行星和冥王星是太阳系内仅有的两颗没有经过观测，而是通过纯粹的数学方式推算得出的行星！这一壮举的实现，还要多亏了法国天文学家、数学家奥本·勒维耶。
在18世纪末期，几位天文学家发现了天王星——当时已知的太阳系最外侧的行星——的运行轨道并不规则，天王星并没有严格地遵循人们按照万有引力计算出来的路径运行。面对这种现象只能有两种解释：要么牛顿的理论是错的，要么还存在着另外一些未知的天体对天王星的轨道产生了干扰。从天王星的观测轨迹入手，勒维耶开始计算这颗假定的新行星的位置。他花了整整两年的时间努力演算，最终得出了一个结果。
接下来就是见证奇迹的时刻。1846年9月23日和24日晚，德国天文学家约翰·格弗里恩·伽勒将望远镜对准了勒维耶计算出来的那个方向，他仔细地在视野中寻找，然后，他发现了它。广袤深邃的夜空中，一个小小的蓝色光点。在距离地球超过40亿千米的地方，那颗行星就在那里！
这是一种多么美妙和令人振奋的感觉，这是怎样的一种对宇宙力量的印象，就在那一天，将是怎样一种深不可测的情感占据了勒维耶的全部心灵，因为他，借助等式的力量，在他的笔尖之下，成功地捕捉到了，甚至可以说是几乎掌控了太阳系行星的巨人之舞！通过数学，那些天空中的“怪兽”，那些古老的神祇，突然之间变得温顺、驯服，像乖巧的猫，在代数学的爱抚之下呼噜噜地打呼。人们可以很容易地想象，在海王星被发现之后的几天，整个天文学界将会处于何种兴奋的狂喜状态，直到今天，当每一位天文学爱好者通过望远镜看向海王星的时候，依然能够感受到那种激动的战栗。
任何科学理论的生命都有它自己的阶段。首先，是假设；然后，是犹豫、错误、发展中的建构、朦朦胧胧的理论隐约浮现；紧接着，就是确认理论的阶段，通过实验来验证等式是否成立，坚定地判断，明确地确认或者否决；再然后，就是放飞自我，获得独立和自由。一旦理论获得了足够的信心，敢于对全世界展露出自己的真面目，它就不再需要努力地看着别人的眼睛去说服谁。这时，理论的方程能够走到实验的前面，预测到某个还没有被观测到的、没有被设想过的，甚至是出乎意料的现象。当理论从发现出发来到发现者的身旁，它就成了一位盟友，或者说一位同事、一位人们创造出来的学者。然后，理论终于成熟了，人类迎来了哈雷彗星和海王星。同样，1919年5月29日的日食，见证了爱因斯坦广义相对论的胜利；2012年希格斯玻色子的发现，证实了早先预设中的粒子物理学标准模型；以及，2015年9月14日，引力波的存在首次被检测到。
为了“开花结果”并且获得合法性，所有伟大的科学发现都需要数学的帮助，即代数方程和几何图形的帮助。数学已经展现出了它们不可思议的强大力量，在今天，没有任何一条严谨的物理学理论敢用除了数学语言之外的其他语言进行表述。
晶体
世界的数学化同样也动摇了化学领域，现在，我们在化学的世界里也发现了很多熟悉的身影。19世纪初期，法国矿物学家勒内·茹斯特·阿羽依在观察被摔碎的方解石碎片后，发现原来的方解石分解为多个具有相同几何结构的碎片。这些碎片并不是随机的，它们具有平坦的表面，且全部由特定的角度构成。鉴于这种现象，阿羽依推断，方解石块应该是由大量彼此相似的元素构成的，而且这些元素之间以非常规则的方式装配在一起。具有这种特性的固体被称为“晶体”。换句话说，从微观的角度观察一个晶体，会发现它是由若干个原子或者分子形成的特定图案在各个方向上不断地重复而构成的。
重复的花纹？你有没有想起来什么？这个规律居然与古美索不达米亚人的腰线及古阿拉伯人的密铺惊人得相似！腰线是某个图案在一个方向上的不断重复，而密铺是某个图案在两个方向上的不断重复。因此，为了研究晶体的结构，我们必须使用同样的原则，只是这次是在三维空间之中。美索不达米亚的匠人们发现了7种腰线，阿拉伯艺术家们发现了17种密铺。多亏了代数结构，人们可以模拟出各种可能的晶体结构：尤其是在为数不少的情况下。相同的代数结构能够形成230种3D密铺。举个例子，在最简单的一类密铺中，我们能够发现由立方体、六角棱柱或者截角八面体构成的密铺，如后页图所示。
在每一种堆垛中，这些图形都完美地堆放和相嵌，没有留下任何镂空，形成了一个能够在各个方向上朝着无穷远处延伸的晶体结构。谁曾想到，美索不达米亚的工匠们对于几何学的思考，有朝一日将成为人们对物质性质研究的一个重要组成部分的奠基石呢？
在我们的日常生活中，晶体无处不在。比如我们吃的食盐，就是由多个氯化钠小晶体构成的；当石英被通电的时候，构成石英的晶体会发生非常有规律的振荡，因此石英成为时钟当中不可缺少的一部分。但要注意的是，“晶体”这个词在我们的日常用语当中有时会被滥用。因此，当人们说“水晶杯”的时候，其实并不是指科学意义上的晶体。
如果你想观赏最精彩瑰丽的标本，那就应该去参观矿物展览。巴黎六大（皮埃尔和玛丽·居里大学）的矿物收藏展览应该是全世界最漂亮的。
世界的数学化虽然带来了前所未有的高效率，但是却忽略了一个令人不安的问题。为什么有且只有数学这一门语言，能够如此完美地适合于描述这个世界呢？为了弄清楚这个令人惊讶的问题，让我们回到牛顿的公式。
如上所示，万有引力的公式中包括两个乘法、一个除法和一个平方。这种表达方式是如此的简洁，看上去简直像撞了大运！我们知道，并不是所有的数字都可以用简单的数学公式表示的。比如数字π，还有其他的很多数字都不行。从统计学的角度看，复杂的数字甚至比简单的数字要多得多。如果你在数轴上随机选取一个数字，你有很大机会选中一个带小数点的数，而不是一个整数。这就好比随机选取数字，选中无穷小数的概率比有穷小数的概率大得多；选中一个不能通过任何公式表述的数字的概率，比选中能够通过四则基本运算计算得出的数字的概率大得多。
牛顿的公式甚至还要更神奇，因为万有引力的大小与物体的质量和彼此之间的距离有关。这就不像π，只是一个简单的常数。然而，不管这两个物体的质量是多少，也不管它们的距离有多远，它们彼此的吸引力始终能够通过这个公式计算得出！在牛顿确立起这个公式之前，人们本来可以很合理地推断，一个力的大小是完全不可能通过数学公式来表述的。即使能，人们也可能会觉得，这样一个公式应该包括非常复杂的运算，而不会仅仅由乘法、除法和乘方运算构成。
所以牛顿的公式居然如此简洁，简直是天上掉馅饼的好运气！我们的自然能够如此优雅地使用数学语言和我们交谈，多么神奇！数学家们往往会出于对“美感”的欣赏建立一些数学模型，然而几个世纪之后，人们却发现这些模型都转化为了具体的物理应用。奇迹的出现并不仅仅在于万有引力。电磁现象、基本粒子的量子机能、时–空的相对变形，所有的这些现象都能够以简洁得令人吃惊的数学语言来表达。
让我们用那个最著名的公式来举例子：E=mc2。这个由爱因斯坦建立的等式，展示了物体质量与能量之间的等价关系。我们在这里不会具体地展开讨论这个公式，因为这并不是我们的目的。但是请你想一想：这个通常被认为是关于我们生存的这个宇宙最迷人、最深刻的原理的代数公式，仅仅由5个符号构成！这是怎样的神奇啊！关于这种神奇，爱因斯坦说过一句著名的话：“宇宙最不可理解之处，就是它居然是可以被理解的。”也就是说，能够通过数学被理解。1960年，物理学家尤金·维格纳发表了题为《数学在自然科学中不合理的有效性》一文。
所以，最后，面对这些我们认为是由人类自己“创造”出来的抽象对象、数字、图形、数列或者公式，我们是真的了解它们吗？如果数学真的是由人类大脑的思考产生的，为什么它会在我们的头骨之外幽幽地四处游荡？在物理世界中，数学扮演了怎样的角色？它们是真实存在的吗？我们难道不应该认为，在这些真实的幽灵中，存在着一个巨大的幻觉吗？考虑到数学对象可能拥有一种游离于人类思想之外的存在形式，可能会让它们看上去更加真实，虽然它们是纯粹的抽象的产物。然而，如果我们要讨论的是那些完全没有任何物质实体的抽象对象的“存在”，那么“存在”这个动词的意义在于什么呢？
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