二维量子转子模型的生成式深度学习

二维量子转子模型的生成式深度学习

Generative Deep Learning for the Two-Dimensional Quantum Rotor Model.

https://arxiv.org/pdf/2602.20772

各种生成式深度学习模型及其变体的发展，为研究量子多体问题提供了丰富的见解。在这项工作中，我们基于生成对抗网络（GANs）的基础架构设计了两个模型，以研究二维量子转子模型（QRM）的基态性质和相变特征。在半监督学习框架内，我们在生成器中加入了多个转置卷积层，使得条件GAN能够更有效地提取低维编码信息。通过分析与不同系统尺寸的基态样本相关的一维潜变量，我们能够定位临界点的位置。此外，我们在深度卷积GAN的损失函数中引入了与分布特征相关的动态自适应权重因子，并利用上采样技术来扩大生成的样本尺寸。通过对QRM在不同磁化区域的平均磁化强度和势能密度优化过程的比较，表明我们的模型能够高效地生成有效的基态样本，显著减少计算时间。我们的结果突显了生成式深度学习在量子相变研究中的潜力，尤其是在临界点识别和为量子多体模型辅助生成模拟数据方面。

I. 引言

机器学习与物理学的深度融合正在孕育科学研究的新范式。通过系统的参数优化和迭代更新，神经网络已展现出卓越的映射和泛化能力，从而在天文学[1–4]、高能物理[5–7]、生物物理[8–10]、复杂性科学[11, 12]和量子物理[13–15]中获得了广泛应用。特别是，量子多体系统的内在概率性质与深度学习的数据驱动基础自然契合[16]。神经网络量子态（NQS）的概念被提出，用于使用人工神经网络表示量子多体波函数[17]。相关研究表明，基于全连接网络和卷积网络的深度NQS架构能够更有效地捕捉量子态的复杂特征[18–22]。在广泛的机器学习架构中，基于监督学习和无监督学习的方案在经典相变研究中已取得显著进展[23–25]。在量子多体系统的模拟中，深度学习可以通过优化基态波函数参与整个计算流程[26]。因此，设计更多基于监督学习和无监督学习的方案，有望进一步辅助识别量子相和预测量子相变。

量子相变发生在量子多体系统中，由量子涨落驱动。一个关键特征是对称性破缺：高温相通常表现出更高的对称性，而低温相通过自发对称性破缺形成有序结构，导致在接近绝对零度时基态性质发生非热突变[27]。量子相变研究的早期推动力主要源于超导体、有机导体及相关化合物中的实验观测[28–30]，以及对莫特金属-绝缘体转变的研究。尽管使用量子蒙特卡洛和变分蒙特卡洛方法在量子多体系统的实时动力学模拟方面已取得显著进展[31–34]，但在构建大规模耦合自旋晶格系统的基态方面仍然面临巨大挑战。这一困难主要源于在计算配分函数的路径积分时需要对大量量子态进行采样。例如，在耦合量子转子系统中，即使转子数量略微增加，所需的波函数采样量也会呈指数增长[35–37]。因此，寻找合适的加速策略和改进的模拟方法已成为亟待解决的关键问题。

生成式深度学习在与物理先验知识结合时，在数据增强、多尺度建模和物理定律发现方面展现出巨大潜力。其中，生成对抗网络（GANs）——由生成器和判别器组成——能够从目标分布中直接采样，从而规避传统概率推理的计算成本[38, 39]。多种扩展变体，如深度卷积生成对抗网络（DCGAN）、Wasserstein生成对抗网络、条件生成对抗网络（CGAN）和循环生成对抗网络，已在生成稳定性和多样性方面得到了改进[40–44]。在本工作中，我们采用条件生成对抗网络（CGAN）来学习二维量子转子模型（QRM）的基态构型，以进行相分类和临界点识别。此外，利用深度卷积生成对抗网络（DCGAN）变体的灵活性——配合定制的损失函数和上采样技术——我们从较小系统生成大规模转子构型，并通过可观测量测量验证生成样本的物理一致性。

本文其余部分的结构如下。在第二节中，我们介绍量子转子模型（QRM），并基于大N近似概述其量子相变的基本特征。第三节详细描述了生成对抗网络框架的定制变体及其在二维量子转子模型（QRM）中的应用。在第四节中，我们展示主要结果，包括使用条件生成对抗网络（CGAN）识别不同尺寸量子转子系统中的临界点，以及通过自行设计的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）模型加速生成基态样本。最后，第五节提供结论性意见并总结本工作的关键发现。

II. 模型

这些结果表明，在量子临界点附近，自旋取向发生对应于量子顺磁相和铁磁相之间转变的大尺度重排。因此，对于二维量子转子模型（QRM），随着控制参数 g g的变化，会发生量子相变，并且不同的量子相可以在远离临界区域的范围内稳定存在。该理论框架为本研究中应用基于半监督生成对抗网络（GAN）的方法来识别量子相和定位临界点提供了重要支持。

III. 方法

在本节中，我们描述了获得量子转子模型（QRM）基态样本的总体流程，并介绍了本工作中开发的两种生成式深度学习框架。第一种方法基于半监督学习的概念，构建了一个完整的条件生成对抗网络（CGAN）架构，以识别不同系统尺寸下二维量子转子模型（QRM）的临界点。第二种方法在无监督学习框架下制定，采用带有自定义损失函数的定制深度卷积生成对抗网络（DCGAN），以加速大规模基态样本的生成。这两种生成对抗网络（GAN）变体的设计原理和应用依据在方法部分中介绍，而结果部分则进一步阐述了研究的具体细节。

参考文献[37]提出了一种基于卷积神经网络（CNN）的框架，用于模拟量子转子系统的实时动力学，这代表了神经网络量子态（NQS）的一个典型应用。神经网络量子态（NQS）的核心思想是使用由一组内部参数 w w表征的人工神经网络来表示量子多体系统的波函数，从而在给定哈密顿量 H H下提供基态及其含时可观测量的最优表示。一旦网络训练完成，所得的机器学习架构可以针对给定的量子构型输出波函数 Ψ Ψ的相位和幅值。

神经网络参数的优化基于变分原理，其中采用反馈机制来近似时间演化的波函数和基态波函数。在该优化过程中使用了变分蒙特卡洛（VMC）模拟方法[46]，通过对网络参数进行随机采样以最小化能量期望值：

本工作中采用的深度学习框架主要基于生成对抗网络（GAN）架构衍生的变体生成模型。最初的生成对抗网络（GAN）是为了解决深度生成模型在最大似然估计及相关策略下遇到的难以处理的概率计算问题而提出的。其对抗机制消除了生成过程中对显式反馈循环的需求，从而通过使用分段线性激活函数提高了梯度反向传播的效率。生成对抗网络（GAN）的训练目标由以下极小极大优化函数定义：

具体而言，生成器旨在生成与真实数据无法区分的样本，而判别器则努力正确区分真实样本和生成样本，并满足给定条件。在训练过程中，这两个目标通过极小极大过程交替优化。

在我们的研究中，采用条件生成对抗网络（CGAN）模型来识别量子转子模型（QRM）的临界点，同时开发了一种定制的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）架构，以加速大规模平衡态样本的生成。两种方法共享相同的基本生成对抗网络（GAN）结构，因此表现出相似的训练动态。

在各种生成对抗网络（GAN）变体中，条件生成对抗网络（CGAN）在训练过程中引入附加条件因子，以增强生成结果的可解释性和可控性。条件信息与生成分布紧密耦合：在接收条件输入后，生成器通过其内部神经网络结构将条件信息融入生成样本中，确保输出不仅与真实数据相似，而且反映规定的条件。在我们的实现中，采用了条件批量归一化，其中条件信息调制生成器每一层的归一化参数。基于量子转子模型（QRM）的理论认识，我们在远离量子临界区间的区域对训练数据集赋予部分标签，从而提升条件生成对抗网络（CGAN）区分不同量子相的能力。

深度卷积生成对抗网络（DCGAN）是生成对抗网络（GAN）框架的另一个重要变体，最初是为了解决早期生成对抗网络（GAN）中观察到的若干问题而提出的，包括训练过程中的不稳定性、生成样本质量有限以及模型可控性差等问题。深度卷积生成对抗网络（DCGAN）的核心思想是利用卷积神经网络强大的特征提取和层次化空间学习能力，构建更稳定、更高效的对抗模型。在我们的实现中，定制化的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）架构紧密遵循图1中条件生成对抗网络（CGAN）模型的生成器和判别器设计。由于我们的目标是在无监督学习框架下加速生成量子转子模型（QRM）的大规模基态样本，因此该深度卷积生成对抗网络（DCGAN）与图1中的条件生成对抗网络（CGAN）存在几个关键差异。

IV. 结果

A. 临界点的确定

利用神经网络量子态（NQS）的动态优化框架，我们获得了小尺寸下量子转子模型（QRM）的基态能量，这些能量作为后续神经网络分析的训练样本。不同耦合参数 g g下优化后的基态能量如图2所示。优化过程首先定义变分波函数并初始化其相关参数。对于给定的哈密顿量和模拟尺寸，梯度与变分参数共同计算，以最小化能量期望值。在优化过程中，采用哈密顿蒙特卡洛（HMC）方法来确定更新方向，同时对量子转子构型进行高效采样。

为条件生成对抗网络（CGAN）构建训练数据集后，将随机噪声向量输入生成器，经过卷积层处理并降维为一维或二维潜在表示，并在内部进行索引。然后生成器应用转置卷积将这些潜在特征重建为输出样本。带有部分标签的真实样本同时被引入条件生成对抗网络（CGAN）训练流程中，用于优化生成器的输出质量并辅助判别器做出更准确的判断。判别器在适当的维度层面上将生成样本与相应的标签特征合并，随后通过卷积层和全连接层输出一个有效性分数，指示输入是真实的还是生成的。

网络经过足够多的轮次训练，直到准确率和损失函数均收敛并在长时间训练中保持稳定。在条件生成对抗网络（CGAN）构建和训练过程中，损失函数和优化器的适当选择至关重要。鉴于我们的相识别任务具有分类性质，采用二元交叉熵损失作为有效准则，以共同考虑有标签和无标签样本的影响。为防止梯度消失或爆炸并确保稳定收敛，采用 Adam 优化器，该优化器基于梯度的一阶矩和二阶矩自适应调整学习率。这种自适应学习机制显著加速了训练，特别是对于量子转子基态样本的大规模数据集。

B. 大规模转子耦合系统的加速生成

本研究的主要目标是设计一个基于深度卷积生成对抗网络（DCGAN）架构的生成式深度学习框架，以生成与原始小尺寸数据集具有相同统计和分布特性的大规模量子转子模型（QRM）基态样本。我们定制的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）训练过程的主要创新包括上采样技术的实现和修改后的损失函数的设计。

我们在深度卷积生成对抗网络（DCGAN）中重点关注以下调整，以确保训练稳定性和生成结果的鲁棒性。批量归一化应用于生成器和判别器的隐藏层。批量归一化稳定了训练过程，加速了收敛，并缓解了梯度爆炸问题。对每一层的激活值进行归一化有助于使各层的输入保持在同一尺度上。除输出层外，所有层均使用 LeakyReLU 激活函数。LeakyReLU（带泄露修正线性单元）是 ReLU 的一种变体，在负区间具有较小的非零斜率，从而解决了负输入时的零梯度问题，允许少量负梯度通过，有助于防止神经元死亡。在生成器和判别器的信息保持设计方面，我们使用较少的池化层和较多的卷积层，以保留更多的空间信息，从而学习真实数据分布的更精细特征。由于生成对抗网络（GAN）的训练目标为损失函数（8），其全局最优状态是完全复制真实数据的生成过程，使生成数据与真实数据无法区分，因此这种定制化的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）训练流程能够学习量子转子模型（QRM）详细的基态样本分布，并可反复生成大规模基态样本。

经过足够次数的优化轮次后，深度卷积生成对抗网络（DCGAN）模型成功生成了与真实数据分布一致的大规模样本。为验证生成数据的有效性，我们在等效统计条件下测量了量子转子模型（QRM）的平均磁化强度和势能密度，表示为

V. 结论

在本工作中，我们设计了两种生成对抗网络（GAN）的变体架构，以实现两个主要目标：（i）识别二维量子转子模型（QRM）的临界点，以及（ii）加速大规模基态样本的生成。在半监督学习框架内，我们开发了一个条件生成对抗网络（CGAN），其具有特别设计的生成器结构和自适应调节的判别器。在生成器中，噪声数据和测试数据均经过预处理，并通过转置卷积层进行变换以实现降维。训练后，从测试数据集中提取的编码表示能够有效区分转子模型的量子顺磁相和铁磁相。不同系统尺寸下一维编码数据的曲率极值为有限尺寸临界点提供了可靠指标，线性外推给出了二维量子转子模型（QRM）的临界耦合值。

为加速大规模基态样本的生成，我们进一步定制了一个深度卷积生成对抗网络（DCGAN）架构，通过在生成器中引入上采样过程使输出维度加倍，并定义了带有生成分布动态加权统计描述子的增强损失函数。结果表明，经过充分训练后，我们的深度卷积生成对抗网络（DCGAN）为二维量子转子模型（QRM）生成的基态样本在基准可观测量上表现出高保真度。该方法在保持同等统计精度的同时，显著降低了计算开销。我们的结果表明，生成式深度学习学到的潜在表示在具有复杂特征识别的量子相变问题中具有广阔潜力，并且生成模型本身可以有目的地设计，以加速大量模拟样本的生产。

原文链接：https://arxiv.org/pdf/2602.20772