复杂：高阶交互如何重塑网络科学综述

导语

高阶交互（higher-order interactions）正逐渐被认为是理解复杂系统、网络结构以及新一代人工智能算法的关键基础。然而，传统的网络与图模型只能刻画两两之间的关系，难以表达真实系统中普遍存在的多体交互现象，因此亟需新的理论框架。在这一背景下，超图（hypergraphs）与单纯复形（simplicial complexes）作为刻画高阶复杂系统的自然数学工具，正在受到越来越多的关注。尽管相关数学理论已经为高阶网络提供了重要基础，但谱理论、离散拓扑、高阶网络动力学等方向仍存在大量基础性问题有待解决。本路线图（roadmap）总结了在 Newton Institute Satellite “Hypergraphs: Theory and Applications” 会议期间，纯数学家、理论物理学家以及计算机与网络科学领域研究者围绕相关议题所开展的学术讨论，并在此基础上进一步梳理了未来可能的研究方向与发展路径。这些方向包括：极值与谱超图理论（extremal and spectral hypergraph theory）、离散拓扑（discrete topology）、高阶动力学（higher-order dynamics）、高阶机器学习（higher-order machine learning），以及在脑科学与社会科学等领域中的应用。

关键词：高阶交互（higher-order interactions）、超图（hypergraphs）、单纯复形（simplicial complexes）、谱理论（spectral theory）、离散拓扑（discrete topology）、高阶动力学（higher-order dynamics）、复杂系统（complex systems）

Lynne丨作者

论文题目：Hypergraphs and simplicial complexes in focus: a roadmap for future research in higher-order interactions 论文链接：https://iopscience.iop.org/article/10.1088/2632-072X/ae3c4e/pdf 发表时间：2026年4月1日 论文来源：Journal of Physics: Complexity

引言：从“图网络”到“高阶交互”的范式转移

在过去二十年中，网络科学（network science）已经成为刻画复杂系统的重要工具。从互联网结构到社交关系，从神经连接到生物分子网络，图模型（graph）以“节点—边”的形式提供了一种统一语言。然而，这种传统建模方式本质上仅描述二元关系（pairwise interactions），即两个节点之间的连接关系。

然而，现实世界中的许多关键过程并非发生在“成对关系”之中，而是天然依赖于多体交互（higher-order interactions）。例如，在社交系统中，一个信息传播事件往往发生在群体会议或群聊中；在生物系统中，蛋白质功能通常依赖多个分子的复合体；在神经系统中，多个神经元可能共同参与一个功能模块的激活。这些现象都表明，多体交互是复杂系统中普遍存在的基本机制，而传统图模型难以对其进行精确表达。

因此，如何超越“点—边”结构，建立能够表达多体交互的新型数学框架，成为当前复杂系统研究中的核心问题之一。在这一背景下，高阶网络（higher-order networks）逐渐成为网络科学的重要发展方向，其核心思想是将系统的基本单元从“关系”扩展为“交互结构本身”。

在这一理论框架中，超图（hypergraphs）与单纯复形（simplicial complexes）成为刻画高阶结构的两种核心数学模型。前者允许一个超边连接多个节点，从而自然表达群体交互关系；后者则进一步引入拓扑约束结构，使高阶交互能够嵌入代数拓扑框架，从而分析其几何与拓扑性质。

如图1所示，超图、单纯复形以及具有三元调制关系的网络结构，共同构成了高阶交互的三种基本表达方式。这一结构性转变，意味着网络科学从“连接的科学”逐步走向“交互结构的科学”。

尽管近年来围绕高阶网络的研究已经取得了重要进展，并在结构建模、谱方法与动力学分析等方面形成了一系列理论工具，但该领域仍然存在大量基础性问题尚未解决。例如，不同高阶结构表示之间如何统一？谱理论如何在不同建模框架下保持一致性？以及高阶结构如何深刻影响系统动力学行为？这些问题仍然构成当前研究的核心挑战。

图1｜超图（hypergraphs）由节点构成，并通过超边连接，用以表示两个或多个节点之间的相互作用。单纯复形（simplicial complexes）可以看作满足闭包性质的一类特殊超图，从而能够利用代数拓扑方法分析高阶网络的拓扑结构、几何结构以及拓扑信号的动力学过程。在具有三元相互作用的网络中，当一个或多个节点能够调控另外两个节点之间的相互作用时，就会产生这种结构。

图2｜超图与高阶网络挑战的示意图，该图展示了在 Newton Institute Satellite：“Hypergraphs: theory and applications”期间讨论的内容。包括谱超图理论（纯数学）、离散拓扑与几何（纯数学）以及高阶网络动力学（应用数学/理论物理）。这些进展可以为网络科学与人工智能提供坚实的数学基础，并提升我们对复杂系统行为的理解与预测能力，例如脑动力学、社会系统与流行病传播，并在药物发现与博弈论中具有重要应用。

极值与谱超图理论：

结构边界与谱信息的统一刻画

在高阶网络的数学基础中，极值超图理论（extremal hypergraph theory）与谱超图理论（spectral hypergraph theory）构成了两个核心方向，分别从组合结构与代数谱结构的角度刻画高阶系统的性质。

极值超图理论关注的是高阶结构的“边界问题”，即在满足特定约束条件下，超图能够达到的最大或最小结构规模。例如，在经典组合数学中，Turán 型问题（Turán-type problems）与 Erdős 匹配猜想（Erdős Matching Conjecture）等。

与此同时，谱理论则从线性代数的角度出发，通过推广图的邻接矩阵（adjacency matrix）与拉普拉斯算子（Laplacian operator），研究超图的特征值结构。在图的情形中，谱信息已经被证明能够有效刻画连通性、扩散过程以及聚类结构，而在高阶网络中，这一思想被进一步扩展到多体交互的复杂结构之中。

如图3所示，极值理论与谱理论并非彼此独立，而是在高阶网络中呈现出深层的相互作用关系。一方面，极值结构往往约束可能的谱分布范围；另一方面，谱性质也可以反过来为组合结构问题提供界限与刻画工具，例如类似 inertia bound 与 ratio bound 的经典思想在高阶情形下仍具有启发意义。

然而，与图结构不同，超图中的谱理论并不存在唯一标准的定义框架。由于“度”“邻接关系”以及“拉普拉斯算子”的构造方式可以有多种推广（包括矩阵形式与张量形式），不同谱定义之间是否具有一致性，以及它们各自适用于何种类型的高阶结构，仍然是当前研究中的核心问题。

此外，超图谱理论还引出了一个重要研究方向，即共谱超图（cospectral hypergraphs）的刻画问题。该问题关注的是：不同结构的超图是否可能具有相同的谱性质，以及哪些结构信息无法从谱中恢复。这一问题在图论中已有丰富研究，但在超图与非均匀高阶结构中仍远未解决。

总体而言，极值理论提供了高阶结构的组合边界，而谱理论则提供了代数刻画工具。二者的结合不仅有助于深化对高阶网络结构本身的理解，也为后续研究高阶动力学与复杂系统行为提供了基础数学支撑。

图3｜极值图论、谱超图理论及其相互作用的结构示意图。

离散拓扑：

从网络结构到数据形状的高维刻画

离散拓扑（discrete topology）为理解高阶网络提供了另一种视角：通过研究数据与网络的“形状（shape）”来揭示其深层结构特征。对于高阶网络而言，仅仅知道节点是否相连往往是不够的，许多重要信息隐藏在环路、空腔以及更高维的拓扑组织结构之中。离散拓扑正是通过刻画这些高维结构，为理解复杂系统提供新的数学工具。

在这一领域中，同调（homology）与上同调（cohomology）构成了最核心的理论基础。同调理论通过构造边界算子（boundary operator），识别网络中的不同维度“空洞（holes）”结构，并利用Betti 数（Betti numbers）等拓扑不变量进行量化，从而刻画系统整体的组织方式。上同调理论进一步引入拉普拉斯算子（Laplacian operator）与Dirac 算子（Dirac operator），使拓扑结构能够与谱分析方法相结合，从而同时揭示系统的拓扑性质、几何结构以及动态行为。

近年来，持续同调（persistent homology）的发展进一步推动了离散拓扑在数据分析中的应用。其核心思想是在多个尺度上追踪拓扑特征的出现与消失过程，从而识别那些稳定存在的结构模式。这一思想构成了拓扑数据分析（topological data analysis, TDA）的基础，并被广泛应用于图像分析、生物信息学以及复杂系统研究等领域。

总体而言，离散拓扑推动了高阶网络研究从“结构分析”走向“拓扑分析”。在超图与单纯复形框架下，研究者开始关注系统整体的几何与拓扑组织形式，以及这些结构如何影响信息传播、同步行为和集体动力学过程。从同调理论到持续同调，从拓扑数据分析到高阶网络研究，离散拓扑正在成为连接数学、网络科学与数据科学的重要桥梁。

高阶动力学：当拓扑开始影响动力学

如果说超图与单纯复形为高阶网络提供了新的结构描述，而离散拓扑揭示了这些结构背后的几何与拓扑组织形式，那么一个更为根本的问题是：这些高阶结构会如何影响系统的动态行为？

传统网络动力学通常假设系统状态完全由节点上的变量描述，并通过节点之间的两两连接实现相互作用。然而，在高阶网络中，交互可以同时发生在多个节点之间。正是这种多体交互（higher-order interactions）的引入，使得系统动力学呈现出许多传统网络无法产生的新现象。例如，在同步（synchronization）与传播（contagion）过程中，高阶耦合结构能够产生爆炸式同步（explosive synchronization）以及突发式传播现象，使系统在短时间内发生剧烈状态跃迁。

近年来，一个更加深刻的研究方向正在兴起，即拓扑动力学（topological dynamics）。在这一框架下，动态变量不仅可以定义在节点上，还可以定义在边、三角形以及更高维单纯形之上。这些动态量被称为拓扑信号（topological signals）。

如图4所示，拓扑信号能够同时存在于节点、边与高维单纯形之中，并通过拉普拉斯算子（Laplacian operator）与Dirac 算子（Dirac operator）在不同维度之间传递信息。这意味着系统的动力学过程不仅受到局部连接关系的影响，还受到整体拓扑结构的约束。

总体而言，高阶动力学推动了网络科学从“动力学发生在网络之上”向“动力学发生在拓扑结构之中”的转变。从多体耦合导致的新型同步现象，到拓扑信号驱动的高维动力学过程，高阶网络正在揭示传统图模型难以捕捉的集体行为模式，并为理解脑活动、社会传播以及复杂系统中的涌现现象提供新的理论框架。

图4｜该图展示了单纯复形中的拓扑动力学，其通过拓扑信号（topological signals）来刻画，即定义在节点、边、三角形及更高维单纯形上的动力学变量。拓扑信号会产生集体现象，一方面揭示拓扑结构如何塑造动力学，另一方面揭示动力学如何反过来“学习”拓扑结构。

高阶机器学习：拓扑与数据驱动模型融合

随着人工智能的发展，高阶网络研究正逐渐从数学理论走向数据驱动应用。其中，一个重要方向便是高阶机器学习（higher-order machine learning），其核心目标是将超图、单纯复形以及拓扑结构引入机器学习模型，从而提升对复杂数据结构的表达能力。

其中，超图表示学习（hypergraph representation learning）是这一领域最直接的发展方向。与传统图表示学习主要基于节点之间的两两关系不同，超图表示学习能够直接利用多体交互结构进行建模，从而保留群体交互所携带的高阶信息。这使得研究者能够更准确地描述复杂系统中的协同关系，而无需将其简化为大量两两连接。

与此同时，高阶网络的发展也推动了拓扑信号处理（topological signal processing, TSP）的兴起。传统信号处理主要针对定义在节点上的信号，而 TSP 则将分析对象扩展到边、三角形以及更高维单纯形上的拓扑信号，从而为高阶结构中的信息传播与特征提取提供统一框架。

在此基础上，拓扑深度学习（topological deep learning, TDL）进一步将深度学习推广到高阶网络领域。通过利用超图、单纯复形以及更一般的拓扑结构，模型不仅能够学习节点之间的连接关系，还能够捕捉群体交互与高维组织结构中的复杂模式，从而表达传统图神经网络难以刻画的高阶结构信息。

总体而言，高阶机器学习正在推动人工智能从图结构学习迈向高阶结构学习。随着超图表示学习、拓扑信号处理与拓扑深度学习的发展，高阶网络理论正逐渐成为连接现代数学与下一代人工智能的重要桥梁。

应用图景：从传播过程到复杂系统行为

高阶网络理论不仅为复杂系统提供了新的数学描述工具，也正在被广泛应用于真实世界的多个关键领域，包括流行病传播、社会系统分析、博弈动力学以及脑网络建模等。在这些系统中，高阶交互结构往往决定了集体行为的演化方式，并在不同尺度上塑造系统的宏观动态。

• 流行病传播（epidemic spreading）：在现实场景中，感染与传播往往发生在群体接触之中，例如家庭、会议或公共场所的集体互动。高阶网络通过引入超图结构，使得群体层面的传播机制能够被直接建模，从而更真实地刻画疫情扩散过程中的非线性效应与临界行为。

• 博弈论（game theory）：在现实社会中，决策往往受到群体环境的共同影响。高阶网络框架使得多参与者之间的联合决策结构得以显式表达，从而揭示群体行为中的协调机制与演化稳定性问题。

• 社会网络分析（social network analysis）和社会传播过程（social contagion）：与经典传播模型中“节点—边”的逐级扩散不同，高阶网络允许信息在群体内部同时传播，从而导致更复杂的级联效应与阈值行为。这种群体传播机制能够更准确地解释舆论形成、行为扩散以及社会极化等现象（如图5）。

• 脑网络（brain networks）：高阶交互体现为多个脑区之间的协同激活模式。认知功能并非由单一脑区或简单连接对决定，而是由多个区域共同参与的功能单元所驱动。高阶网络方法能够刻画这种多区域协同结构，从而为理解脑功能分区、信息整合以及神经动态提供新的理论框架。

总体而言，这些看似不同的应用领域在高阶网络框架下呈现出统一的结构性特征：系统的关键行为并非由简单的成对关系决定，而是由多体交互结构所主导。高阶网络因此成为连接传播过程、决策机制与神经动力学的重要统一语言。

图5｜多源传播过程中潜在的重叠群结构的典型模式。从左到右，分别表示：成对交互与高阶交互完全不重叠（左）、部分重叠（中）、以及完全重叠（右）。图中仅展示结构配置（不涉及动力学过程）；这种结构重叠会影响传播行为。

总结与展望：走向统一的高阶网络理论

高阶网络研究正在从“结构刻画”走向“结构—动力学—学习”的统一框架：从超图与单纯复形出发描述多体交互结构，通过极值与谱理论刻画其结构边界与信息性质，借助离散拓扑揭示其高维几何形态，并进一步由高阶动力学连接到系统演化规律。

在此基础上，高阶机器学习与拓扑数据方法正在将这一理论体系推向数据驱动的人工智能框架，使高阶结构从“可描述对象”走向“可学习对象”。

可以预见，高阶网络科学正逐步从传统图模型的推广，发展为贯通数学结构、动力学机制与智能学习的统一理论框架。

高阶网络社区

随着对现实世界探索的不断深入，人们发现在许多真实的复杂系统中，组成系统的个体之间不仅存在二元交互关系，也广泛存在多个体同时（或以特定顺序）进行交互，即高阶交互现象。为此，研究人员分别发展出了基于超图、单纯复形、依赖关系等的网络高阶表示模型，为复杂网络分析和研究提供了新的思路。

由电子科技大学吕琳媛老师、任晓龙老师及中国地质大学（北京）管青老师在集智俱乐部联合发起了【 】。读书会围绕高阶交互网络的基本概念、模型、方法与应用等研究进行研讨，按照「基础理论」+「深入理论」+「案例研讨」的模式展开。读书会第一季已经圆满结束，第二季正在筹备中。现在报名加入可以解锁第一季全部录播视频并加入社群交流。

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