正多面体：欧几里得时代的绘图与计算

女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。

我们能否计算那些我们无法绘制的东西？我们又该如何绘图，才能产生可测量的表征，或是可视的表征？本研究探讨数学与具象表征之间的关系，更确切地说，是探讨绘图与计算之间的关系。本文所研究的科学图像是5种柏拉图立体的表征，讨论了从古典时代到现代的各种表征技术，以及它们在帮助计算尺寸和比例关系方面的功效。建筑绘图史领域的学者们，往往将其观察局限于古典时代留存下来的极少数平面图和正投影图，而未将他们的研究扩展到其他同样依赖绘图作为研究工具和沟通手段的科学领域。在这些其他领域中，数学研究便占有一席之地，尤其是立体几何，它所处理的对象和实体具有形状，而这些形状需要以某种方式以三维形式绘制出来，才能被研究。

序言

欧几里得《几何原本》早期手稿中所载的五种正多面体图示，印证了在那个尚未确立任何绘图规范的时代，绘制三维物体这一课题所引发的诸多困难。

现代绘图方法论，即当今标准且目前向建筑系学生传授的用于表现三维空间与体积的技术，就是轴测投影法和透视图法。这两种技术各有优劣。透视图是对人类自然视觉的模拟：它们能产生即刻可识别的图像，但因其并非按比例绘制的图纸，所以不可测量。另一方面，轴测图是可测量的（当提供比例缩尺时），但它们往往会生硬地扭曲所展示的物体。在欧几里得《几何原本》早期手稿中，用于阐明正多面体研究的图示，并未系统应用这两种技术中的任何一种。

本研究聚焦于考察欧几里得时代理论研究与几何绘图之间的关系。当然，这样的研究只能通过仔细审阅那些被保存下来且目前仍可在图书馆中获取的手稿来进行。科学界现已公认，现存最古老的《几何原本》抄本，是藏于梵蒂冈图书馆的一册希腊文手稿，其年代可追溯至公元9世纪，即欧几里得去世后约11个世纪（据欧几里得，9世纪，梵蒂冈）。

我们或许会好奇这些手稿的抄写员是何许人也——正是这些人传递了这一古代知识，并使其传播成为可能。我们有证据表明，这些手稿大多分两步制作完成。首先，抄写文本。文本抄写员通常在页面版式上留出一些空白区域，以便为插图预留空间。待文本完成后，再由另一位抄写员绘制插图。这些空白区域往往过于狭小，导致图画显得偏小、有些局促，有时甚至会延伸到页边空白之外。藏于伦敦大英图书馆的希腊文手稿BL Arundel MS 548，其年代可追溯至16世纪前25年，便是一个未完成的欧几里得《几何原本》抄本实例，其中预设用于插图的空白区域至今仍空着，图画始终未绘制（据欧几里得，16世纪，大英图书馆，Arundel藏本）（图1）。

图1 藏于大英图书馆的BL Arundel MS 548手稿内页，展示了缺失的插图。

这些抄写员是接受过数学训练，还是仅接受过书法和绘图训练？因此，他们是否负责科学知识与科学图像的传播呢？

我们不打算讨论各手稿文本的质量，也不打算探讨产生众多现存抄本的翻译历史脉络。这是一个已被许多学者、编辑、评注者和数学史家深入研究过的课题。另一方面，图像迄今为止受到的关注远不如文字，仿佛它们不如文字论述重要，只是书籍中一个次要的方面。弗朗索瓦·佩拉尔承认（巴黎帕特里斯出版社于1819年出版的梵蒂冈希腊文手稿Vat.Gr.190.pt法文译本的译者兼编辑），当他对手稿Vat.Gr.190.pt中的图像不满意时，便从其他版本中选取了图像（佩拉尔，1819年）。

然而，在以几何问题为核心的数学证明中，文本与图像是密不可分的。更进一步说——而这正是我们所关心的——解决问题的科学方法，也塑造了支撑理论并便于学习的图像。当涉及立体几何时，所研究的物体和体积既可以以视觉方式呈现，也可以用图解方式表达，或者借助多面视图的联屏图版加以说明。表征方式有许多可能的选择，这取决于真正涉及的问题是什么、解决方案是如何得出的，以及当时可用的几何绘图技术有哪些。

欧几里得几何与《几何原本》的结构

亚历山大城的欧几里得所著论著，成书于公元前4世纪之交，汇集了当时可得的绝大部分数学知识，共十三卷。各卷均分为若干“命题”，每个命题提出一个具体问题并予以妥善解答。最短的一卷——第二卷——仅有14个命题，而最长的一卷——第十卷——则多达117个命题。每个命题均配有一幅图示，用以描绘问题及其解法。每卷开头设有一系列“定义”，这些定义所断言的一些真理既未经证明，亦无法证明。

《几何原本》涉及算术和几何两方面的问题。前九卷探讨数的理论、比例概念及平面几何。第十卷触及当时数学科学的核心：无理性和不可公度性问题。最后三卷（第十一至第十三卷）有时被称为“立体卷”，因为它们专门研究立体几何，并特别关注对五种正多面体的探讨。文艺复兴时期的大多数版本还包含另外两卷（第十四卷和第十五卷），它们算是第十三卷的某种延续，尽管并非欧几里得所作。第十四卷归功于许普西克勒斯（公元前2世纪），而第十五卷据推测写于公元6世纪。

我们在《几何原本》中读到的数学证明的展开，所采用的思想程序和计算方法，已不再为我们所熟悉。欧几里得处理的是“量”，这些“量”既可以是算术实体，也可以是几何实体：即数或形状（平面的或立体的）。然而，数可以具有形状，而形状也可以通过数来表达。这些“量”通过图形呈现在纸上。研究希腊数学的学者们会提及“有形之数”或“图形化的量”。因此，算术运算可以通过绘图来完成。当数表现为线段时，加法意味着延长初始线段；两个数相乘意味着画一个矩形，三个数相乘则产生一个立体。因此，一个数自乘便产生正方形，再乘一次则产生立方体。事实上，我们今天仍然称“平方”数和“立方”数、“平方根”和“立方根”。

在古希腊数学的关注中，无理性和不可公度性的概念占据重要地位。无理性的概念指的是一个量自身的性质。不可公度性的概念则指的是两个量之间比值的性质。如果两个量之间存在简单的关系，例如它们的比值等于两个自然整数之间的比值，则称它们是可公度的。在第十卷中，欧几里得阐述了十三种不同的无理性与不可公度性。例如，量可以是“长度上可公度”的，也可以是“按其边上的正方形”可公度的。长度上可公度的量是指那些具有共同公度量的量（该公度量可能是有理的，也可能是无理的）。平方上可公度的量是指它们的平方均为某一共同量的倍数的量，例如正方形的边和对角线，其平方之比为1比2。一种关系并不绝对排斥另一种关系：同一个量可能在长度上和平方上都是可公度的。这几种无理量根据其获得方式（通过不同量的加法或减法）而被赋予名称——例如中项线、二项线、余线等。

在第13卷中，欧几里得表明，正四面体、正八面体和正方体的棱，与其外接球直径在平方上是可公度的；而正二十面体的棱则是被称为“极小线”的无理量，正十二面体的棱则是被称为“余线”的无理量。

研究正多面体

关于正多面体的最早的历史描述，见于柏拉图题为《蒂迈欧篇》（约公元前360年）的对话录中，其关注点在于每个立体的面的几何形状以及它们是如何组合在一起的。柏拉图将正多面体定义为平面几何对象（即各个面）依据特定的“立体角”组合而成的集合。从单个面的平面角出发，数学问题便在于确定最终多面体的“立体角”。因此，构建体积的重复元素既可以看作是面本身，也可以看作是立体角。正四面体、正八面体和正二十面体虽然都具有相同的三角形面，但它们的立体角却各不相同。这三个多面体分别由在每个顶点处汇聚三条、四条或五条等边三角形面组合而成（图2）。

图2 柏拉图时代所构想的正四面体、正八面体和正二十面体的立体角。

相反，正方体是由其顶点来定义的，在每个顶点处有三个正方形面交汇；而正十二面体的立体角则由三个五边形面的连接所构成。

自柏拉图时代以来，与其他数学对象和概念一样，这五种正多面体一直被视为美的典范。它们等角且等边。它们展现出多种镜像对称性：既有过其中心的切割平面对称，也有绕其轴线或中心对称。要确定它们的大小，只需一个数值参数即可：即其棱的长度。对正多面体构造的探索，本质上就是对形式美与完美性的追求。

因为我们不会承认，在任何地方还能看到比这些更美的立体，它们各自在其种类中都是独一无二的。（柏拉图 & 伯里，1966年，《蒂迈欧篇》，53e）

继这些描述之后，稍晚时期提出并在欧几里得《几何原本》（约公元前300年）中得到回响的下一个问题，是对内接于同一给定直径球体的五种正多面体棱长的量化。第十三卷完全致力于解决这一问题。那么，伴随这五个计算问题正文的是何种图像呢？直至文艺复兴时期，手稿中出现的传统图像表明，在欧几里得时代，绘制三维立体并无标准可循。这五种多面体并非依据同一种几何投影法绘制。其形状因面数增加而日益复杂，这一特点是通过不同类型的图画来描绘的。

计算正多面体

我们能否计算那些我们无法绘制的东西？绘图本身是否就是一种成功的研究方法？还是说，绘图仅仅是为学习者提供视觉辅助的必要图形图像？阅读古代手稿和《几何原本》印刷版本中的所有图像时，必须始终牢记其背后的计算问题。这些插图都服务于同一个目标：找出内接于给定球体的五种立体棱长的比例关系。

自古典时代以来，对多面体的研究便始于三维模型的构建与测量。柏拉图本人就曾解释道，数学家们习惯于为自己制作模型：

“……他们塑造和绘制的那些东西本身有自己的影子，在水中有自己的影像……但他们真正寻求的，是去看见那些只能被心灵看到的实在。”（柏拉图 & 肖里，1969年，《理想国》，第六卷，510e）

柏拉图给予我们的这一基本信息，是解读欧几里得图形的关键。事实上，仔细审视《几何原本》各版本中出现的正四面体、正八面体和正方体的图像，便会发现它们所描绘的是这些立体的木质模型。而这些模型所展示的，并不仅仅是柏拉图所描述的完美“美的立体”本身，更揭示了欧几里得几何学竭力解决的计算问题。实际上，一个纯粹的、完美的正四面体应由六根等长的木棍组装成一个三棱锥。但由于该立体的棱需要与外接球的直径进行比较，研究模型便额外包含了一根更长的木棍：即球体本身的直径。正四面体是唯一一个未能完全包纳球体直径的多面体：这根长木棍从一个顶点悬垂而下，穿过对边的底面，并延伸至棱锥体之外。模型的制作者还需在“被穿透的”三角形底面上添加三根额外的短木棍，它们除了固定直径木棍以使其保持在正确位置外别无他用；否则，这根木棍很快便会散落。而正是这一模型的图像，被代代相传，出现在《几何原本》的每一个版本中（图3）。

图3 正四面体、正八面体和正方体的木质模型，与现存最古老的希腊文手稿Vat.Gr.190.pt（藏于梵蒂冈图书馆，年代为公元9世纪）中所示同一立体的传统描绘之比较。模型中彩色木棍即为外接球直径。右侧图像来源：Vat.Gr.190.pt，约9世纪。

正方体和正八面体的情况类似。手稿中抄绘的图形是三维模型的二维图画：它们是对先前再现的再现，除了几何对象本身之外，还展示了数学问题（不可公度长度的计算）。正八面体的模型同样包含了球体的直径，其位置由正方形中截面的对角线固定，对角线的交点即为该立体的中心。正方体的模型则在其六个正方形面之一上包含了一根对角木棍，这让人回想起量之间不可公度性的第一个基本问题，确切地说，就是正方形边与对角线之间的不可公度性——即众所周知的“柏拉图定理”。模型中可见的正方体对角线，除了是外接球的直径外，还关联到古代数学的三大经典问题之一：立方倍积问题。正方形对角线（即面对角线）与正方体对角线之间的不可公度性，在此得到了展示。

这些图像总是将多面体描绘为透明的立体。它们所有的棱都清晰可见，没有任何绘画效果来强调体积的纵深感。所有线条的粗细一致；未使用任何颜色，甚至连灰度深浅都没有，来区分正面与背面、远处与近处。

在源自希腊传统的手稿中，正二十面体的描绘视图是一种特殊的透视法，其假定的视轴对应于球体的一条直径。其结果让人联想到当代的极地地图投影，其中属于同一球体的两个相等的平行圆，绘制出的尺寸却不相同。所产生的图像是欧几里得图像中“可见之物”与“可理解之物”之间关系的一个绝佳例证。尽管正二十面体并未真正地以视觉方式呈现出来，但其构造过程中的所有步骤都得到了充分的图示表达（默多克，1984年）。附随的文本引导学者理解到，这些径向线条实际上应当被“看作”是相对于水平面的正五边形和平行圆而言确实垂直的线条。立体的所有顶点均为可见，没有一个是隐藏的，除了两个对齐的极点。对图像的解读是一种心智过程，而非视觉审视。这幅绘图是描述性的，而非视觉性的，且远非能够一目了然、不言自明（图4）。

图4 左：希腊文手稿Vat.Gr.190.pt（公元9世纪）中所示的正二十面体。右：极地地图投影原理，这是与现代技术最接近的、能与古代草图相匹配的绘图方式。

伴随正十二面体研究的图像，其可视性甚至比正二十面体的图像还要低。该立体并非与其外接球进行比较，而是与其所内包的正方体进行比较。无论是正十二面体还是正方体，都没有被完整地绘制出来。大多数情况下，我们只能看到正方体的两个面和正十二面体的一个面。其余部分必须依据学者的理解力在头脑中构建。尽管如此，该图像仍展示了问题及其解法：即正方体棱与正十二面体棱之间的不可公度性——后者是前者的“余线”（图5）。

图5 左：希腊文手稿Vat.Gr.190.pt（公元9世纪）中所示的正十二面体。右：现代数字重建与模型，展示了正十二面体内部嵌套的正方体和正四面体。

除正十二面体（它不与外接球进行比较）外，前四个立体（正四面体、正八面体、正方体和正二十面体）的图形总是配有一个平面图解，其中给出了计算问题的结果。该图解仅显示一个封闭的半圆，它代表球体及其直径的图像，其中包含一条线段，其长度即为所研究的正多面体的棱长。这个图解是按比例绘制的，旨在使其可测量，因为这两个长度（球体直径和立体棱长）以相同的比例尺呈现。针对每个问题的这两种图形的组合，构成了双联图像，这些图像在各手稿中反复出现（迪韦尔努瓦，2023年）（图6）。

图6 斯蒂芬·克拉克所作手稿MS D'Orville 301（公元9世纪）中展示的五种正多面体。

绘制正多面体

快速审视几份手稿便会发现，图形和绘图中出现错误与不准确之处是屡见不鲜的（默多克，1984年）。这让我们又回到了那个问题：图像抄写员是什么样的人？显然，他们并非都受过几何学训练，甚至并非都完全清楚自己所画的是什么。例如，正八面体就以多种不同的方式呈现。有时视图被拉长，有时被压扁。然而，这些不同的变形，会让人联想到多面体在平坦表面上所投下的阴影可能呈现出的多种形态。柏拉图关于古代科学研究方法论的论述“……他们塑造和绘制的那些东西本身有自己的影子，在水中有自己的影像……”（柏拉图，《理想国》第六卷，510e）再次回响在我们耳畔。临摹研究模型投射的阴影，或许是绘制复杂立体二维视图的一种简便方法；而且，从几何投影的角度来看，这样做能产生精确的视图，因为阴影绘图属于轴测投影的范畴，而轴测投影在当今的建筑表现中被广泛使用。从这个角度来看，正八面体视图中，其中截面正方形变形为矩形、竖直轴看起来较短的那一幅，比中截面显示为正方形（内接于圆）、竖直轴被过度拉长的那一幅，更为真实，几何上也更为准确（图7）。

图7 绘制阴影。正八面体的各种插图。图片来源：左图为斯蒂芬·克拉克所作手稿MS D'Orville 301（公元9世纪），牛津大学博德利图书馆（据欧几里得，9世纪，博德利藏本）；中图为大英图书馆MS 5266，抄自阿德拉德·巴斯的译本，可追溯至14世纪（据欧几里得，14世纪，大英图书馆）；右图为拉特多尔特于1482年在威尼斯出版的《初版》。中间的图像中，六个顶点落在一个圆（即球体）上，是最引人注目的一个。

第一批接近自然视图的正五面体正确视觉描绘，出自皮耶罗·德拉·弗朗切斯卡之手，并发表于他的《论五种正立体》（约写于1480年至1492年间）一书中（威廉斯，2021年）。事实上，第一位绘制出正确透视图的数学家，正是著名论著《绘画透视学》（约1482年）的作者，同时也是一位才华横溢的画家，这并不令人意外。然而，皮耶罗的绘图是为他自己的欧几里得几何问题著作所配，不应被误认为是《几何原本》的个人版本。与皮耶罗的绘图不同，列奥纳多·达·芬奇为卢卡·帕乔利的《神圣比例》（1509年）所作的正多面体与星形多面体的六十幅插图，享誉全球。这些插图标志着多面体插图史上的一个转折点。列奥纳多很可能是应卢卡·帕乔利的请求而准备这些插图的。当时，他们同住在米兰的卢多维科·斯福尔扎宫廷，卢卡正在教列奥纳多数学（迪韦尔努瓦，2008年）。列奥纳多在此运用他的艺术才华，通过提供绘画性的视觉辅助来支持数学研究。他所描绘的多面体并非精确的透视构造，而是悬挂在他面前的木质模型的“肖像”（迪韦尔努瓦，2023年）。事实上，悬挂模型的丝带甚至也在画面中显现出来。这再次印证了它们是对先前再现的再现：即模型的绘图。立体的棱并非以线条呈现，而是以粗木棍的形式出现。深度效果被真实地渲染出来：后部的棱（木棍）部分地隐藏在前部棱之后，而着色的明暗变化则增强了体积感。列奥纳多的目的并非论证任何数学性质。这些立体已被“清除”了所有欧几里得式的参照：外接球直径不见了，正方体面的对角线不见了，正四面体底面的三角剖分线也不见了。这些图像是不可测量的。这些绘图的唯一目的，是展示多面体应有的模样，从而让初学者能够识别它们。它们是纯粹的视觉图像。尽管它们在数学家和其他学者中广为人知，并且在当今的网络上随处可见，但它们除了卢卡·帕乔利的《神圣比例》之外，从未在其他任何数学论著中发表过。

透视表现法最终还是悄然渗入了后期前现代的《几何原本》版本中。在插图中引入透视绘图的第一位编辑者是意大利数学家费德里科·孔曼迪诺（1509–1575）（索尔奇，2006年）。孔曼迪诺编辑了两个版本的《几何原本》：第一个是拉丁文版（1572年），第二个是意大利文版（1575年），其影响及对后世《几何原本》现代史的重要性不可估量（默多克，1971年）。孔曼迪诺的著作成为后来意大利文艺复兴时期出版物的范例。例如，我们可以举出阿尔-图西（1201–1274）阿拉伯文版的1594年再版，该版由美第奇印刷所印制。该印刷所由托斯卡纳大公费迪南多·德·美第奇（1549–1609）创办，他启动了一项雄心勃勃的出版计划，但未能完全实现。阿尔-图西的再版是19世纪之前唯一出版的阿拉伯文印刷版本，也是欧洲唯一印制的阿拉伯文版《几何原本》。它依据的是两份至今仍保存在意大利佛罗伦萨美第奇-洛伦佐图书馆的手稿（德·扬，2012年）。不可否认，原始手稿中的图画质量相当低劣。而印刷再版则包含了直接源自孔曼迪诺著作的图像，为这部论著赋予了全新的现代面貌。我们甚至能注意到，一些传统的立体模型描述性图像是如何被取消，转而采用视觉透视图像的（迪韦尔努瓦，2023年）。

结论

对多面体几何的研究，是文艺复兴时期艺术与科学互动的最佳例证之一，当时透视表现法的进步与正多面体及非正多面体的研究是并行发展的。一方面，立体的透视表现本身成为了一个完整的研究课题，并催生了许多艺术作品，包括大理石地板和细木镶嵌木刻。在意大利及国外的透视教学中，多面体成为了一项经典练习。在德国，16世纪60年代涌现了大量描绘多面体的出版物（威廉斯，2021年）。另一方面，对半正多面体的研究也正是由这一新的研究工具所推动的。

建筑绘图史领域的学者们，往往将其观察局限于古典时代留存下来的极少数平面图和正投影图，而未将他们的研究扩展到其他同样依赖绘图作为研究工具和沟通手段的科学领域。古代数学论著的插图，可以为我们提供一些关于当时三维表现知识的线索。然而，对它们的解读必须考虑到其形式的目的：某些变形可能具有与计算过程紧密相关的含义。此外，关于古代几何绘图技术水平的局部结论，必须仅限于书中呈现的内容，而不应涉及其缺失的部分。表现技术（轴测法/透视法/其他投影方式）的选择，乃至其设计，都是依据其证明数学属性的效力来决定的。

此外，关于艺术与科学关系的研究，往往侧重于数学对艺术的影响和作用，但很少有人探讨艺术对科学的影响。艺术能为数学做些什么呢？本研究揭示了几何绘图的进步如何能够支持科学图像的生成，从而为读者提供更大的便利。

参考文献

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De Young, Gregg. 2012. Further adventures of the Rome 1594 Arabic redaction of Euclid’s Elements. Arch. Hist. Exact Sci. 66: 265–294.

Duvernoy, Sylvie. 2008. Leonardo and Theoretical Mathematics. In Nexus Network Journal 10/1: 39–49. Cham: Birkhäuser.

Duvernoy, Sylvie. 2023. Polyhedra Representation in Editions of Euclid’s Elements In Nexus Network Journal 25/1:S139-145. Cham: Birkhäuser.

Murdoch, John E. 1971. Euclid: transmission of the Elements. In Dictionary of Scientific Biographies 4: 437–459. New York: Scribner’s sons.

Murdoch, John E. 1984. Album of Science - Antiquity and the Middle Ages. New York: Scribner’s Sons.

Peyrard, François. 1819. Les Œuvres d’Euclide traduites littéralement. Paris: C.F. Patris.

Plato, Timaeus, 53e, 1966. trans. Rev. R.G. Bury. London: The Loeb Classical Library.

Plato, Republic, book VI, 510e, 1969. trans. P. Shorey. Cambridge-MA: Harvard University Press.

Sorci, Alessandra. 2006. I corredi iconografici degli Elementi di Euclide dai codici alle edizioni a stampa del 15. e 16. secolo. Florence: self-published Ph.D. thesis.

Williams, Kim. 2021. Daniele Barbaro and the Geometric Solids. In Williams, K. and C. Monteleone. Daniele Barbaro’s Perspective of 1568. Cham: Birkhäuser.

Sylvie Duvernoy. The Regular Polyhedra: Drawing and Computing in Euclid’s day

最后照例放些跟张大少有关的图书链接。

青山 不改，绿水长流，在下告退。

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