邂逅数学根源——IAS普林斯顿高等研究院2026年春夏刊

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普林斯顿高等研究院（IAS）近期组织了一场以研读数学经典原著为主的“数学民间传说”研讨会，由两位学者联合主持。活动跳出现代繁杂学术技法，回溯牛顿、莱布尼茨、黎曼等先贤思想，品读原始著作，探讨数学本源、思维直觉与学科初心。

研讨内容兼顾经典理论、冷门民间数学研究，还深入探讨AI人工智能对数学研究带来的冲击与影响。活动让学者重拾数学人文内核，反思学科发展得失，思索数学未来走向，重新联结数学发展的思想根基。

数学家、物理学家艾萨克·牛顿

图源：Kevin Howdeshell

作者：Allyn Jackson（专攻数学与理论计算机科学领域的撰稿人）2026-5-16

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-5-23

求喜欢

2025-2026学年，IAS普林斯顿高等研究院数学学院举办了一场别具一格的研讨会。研讨会题为 “数学民间传说”，核心是研读那些孕育了当今数学核心概念的历史著作。其目标是跳出现代数学纷繁复杂的技术壁垒，重新连接滋养这一学科的重要根源。

这场每周一次的研讨会由数学学院罗伯特与路易莎・费恩霍尔茨讲座教授阿克沙伊・文卡特什（Akshay Venkatesh），以及该院 2025-2026 学年埃里克・埃伦图克研究员、布朗大学应用数学系教授戈文德・梅农（Govind Menon）共同主持。

文卡特什表示，这场研讨会的诞生源于 “重振数学人文学科属性的需求，即把数学视作一门人文学科的理念”。这一理念 “从未消失，但至少在数学家的外在研究实践中已有所淡化”。另请参阅：

随着数学研究日益专业化、技术化，它与人类经验基本要素的联系变得模糊。文卡特什说，在人工智能或将加速这一趋势的背景下，“我们确实需要审视我们所做之事的人文维度”。

永恒之问

这场研讨会为数学家提供了一个平台，得以直面未被后世学科发展污染的基础思想与思维方式。尽管研讨材料需要扎实的数学背景支撑，讨论却更偏向哲学而非技术。关于思维本质、直觉与知识的宏大问题自发涌现。

除梅农与文卡特什外，参会者还包括多位高等研究院的学者，涵盖数学学院及其他院系。其中有社会科学学院 2025-2026 学年罗伯特・迪杰格拉夫成员阿尔玛・施坦加特（Alma Steingart）；历史研究学院恩斯特与伊丽莎白・阿尔伯斯 - 舍恩伯格科学史讲座教授迈尔斯・杰克逊（Myles Jackson）也偶尔参与。三位自由撰稿人定期参会：我本人、伊夫林・兰姆（Evelyn Lamb）与莱拉・斯洛曼（Leila Sloman）。

但大部分参与者是青年数学家，主要是研究院成员，还有少量来自邻近普林斯顿大学的研究生，他们的理想主义与开放心态让讨论更具活力。数学学院 2025-2026 学年成员迈克尔・查普曼（Michael Chapman）起初以为这场研讨会可能只是一场 “自我褒奖” 活动，数学家们一味夸赞自身领域的美妙与重要。但他说，事实恰恰相反，“这是一场严肃的智识活动”。他是频繁且积极的参与者。

研读材料涵盖16世纪至今的原始著作，以及人物特写、阐释性文章与书信。在与过往思想者对话的过程中，研讨会参与者思考着数学知识的本质、数学灵感与直觉的来源，以及这一学科未来的走向。

“重新认识” 牛顿

纯粹数学的思想是确凿无疑的，非近似亦非可疑；它们或许不是上帝思想中最有趣、最重要的部分，却是我们确切知晓的部分。 —— 希尔达・P・哈德森（ Hilda P. Hudson ）

希尔达・哈德森Hilda P. Hudson（1881 - 1965）

英国代数几何学家

戈文德・梅农在投身数学前是工程专业学生，从某种意义上说，他研究艾萨克・牛顿（Isaac Newton，1642-1727）的成果已有 35 年。但在研讨会上阅读《自然哲学的数学原理》节选时，他发现自己正在 “忘掉” 自以为熟知的内容。“我感觉自己第一次接触这些材料，” 梅农说。他将此视作与另一位人类思想者、一位 “同道中人” 的相遇。而这种体验，正是研讨会旨在培育的。

历史学家已产出大量研究牛顿生平与成果的文献。其中极小一部分为研讨会的研读提供了丰富背景，迈尔斯・杰克逊与阿尔玛・施坦加特的精辟点评亦有帮助。但研讨会上的数学家们寻求的是与历史知识互补的东西：与牛顿的数学共鸣。

今年春季的一份研读材料探讨了牛顿对开普勒行星运动定律的推导。尽管牛顿在《原理》中创立了微积分，但他对开普勒定律的论述并非基于微积分，而是欧氏几何。假定行星受向心力作用，他运用比例、相似三角形与平行四边形构建出行星的曲线运动轨迹，由此推导出描述行星运动的万有引力 “平方反比定律”。

研讨会参与者注意到，与现代论述不同，牛顿的著作中能感受到物理实在。如今的学生学到的是，行星如此运动是因为遵循牛顿平方反比定律。而牛顿的推导方向恰好相反：开普勒关于行星运动的观测数据引导牛顿得出了定律。参与者认为牛顿的方法 “清晰、简单、直白”。相比之下，许多现代方法显得 “工业化”、“过度加工”，与学科核心的本原概念脱节。

除牛顿的著作外，研讨会还从戈特弗里德・威廉・莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）的浩瀚著述中选取了少量内容研读。莱布尼茨与牛顿大约在同一时期独立创立微积分；正是莱布尼茨创造了更优的符号体系，沿用至今。研读材料中，两位思想者的差异显而易见。牛顿致力于为诸多不同现象寻求统一解释，而莱布尼茨则追求一种符号化、算法化的路径，他相信这套方法可适配解决各类问题。

莱布尼茨曾梦想构建一种 “推理演算”，通过符号运算得出理性解答，从而化解一切争端。如今的AI人工智能聊天机器人或许正是这一梦想的回响，它们对数学问题的回答正变得可靠、渊博，甚至富有洞见。

在研读开普勒、莱布尼茨、牛顿等多位学者的著作时，研讨会触及了 “宗教信仰作为灵感来源” 这一主题。数学学院 2025-2026 学年成员阿斯温・G（Asvin G.）虽无宗教信仰，却对这一主题深有共鸣。他说，从某种意义上讲，研究中最大的挑战是相信世界存在被理解的可能，而这种信念与宗教信仰并无太大差异。“每当我思考自己为何从事科学研究，都会觉得，作为渺小的人类个体，立志理解世界并期盼成功，这似乎十分大胆，” 他说，“但这又如此美好、如此神奇，让我必须去尝试。”

黎曼：几何学的全新观念

当然，经验始终是数学构造物理实用性的唯一评判标准。但创造的原则蕴藏于数学之中。因此，在某种意义上，我确信纯粹思想可以把握现实，正如古人所梦想的那样。 —— 阿尔伯特・爱因斯坦（ Albert Einstein）

阿尔伯特・爱因斯坦（Albert Einstein，1879 - 1955）

去年初秋，小组研读了年轻的伯恩哈德・黎曼（Bernhard Riemann，1826-1866）在1854年发表的一篇演讲，这篇演讲改变了数学的发展轨迹。该演讲是黎曼在哥廷根大学的就职讲师资格演讲，听众寥寥，其中包括卡尔・弗里德里希・高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）。

高斯通过对三维空间中曲面的广泛研究，创立了后世所称的高斯曲率，由此开启微分几何领域。他的里程碑式成果 “绝妙定理” 表明，曲率是曲面的内蕴属性；换言之，曲率仅取决于曲面上的测量结果，与曲面在周围三维空间中的放置方式无关。

黎曼及其著名的黎曼zeta函数

图源：Kevin Howdeshell

黎曼的演讲对绝妙定理做出了深刻推广。他将曲面视作独立于任何外部空间的抽象几何对象（即流形），并将这一观念拓展至任意维度的流形。他证明，一旦能在流形上进行测量，便可定义曲率，且曲率是流形的内蕴属性。在这一概念飞跃中，他拓展了几何学的边界。

彼时，欧氏几何作为世界唯一真实几何的独尊地位已受到质疑。黎曼的研究明确表明，几何并非只有一种，而是有无穷多种。他的思想传遍整个数学领域，发展为黎曼几何这一重要分支。这一概念飞跃，恰好为研究院 1933-1955 年创始教授阿尔伯特・爱因斯坦（Albert Einstein）创立广义相对论提供了所需的理论基础。

对研讨会参与者而言，黎曼的演讲并非易读之作，再加上德译英的瑕疵，理解难度进一步增加。尽管如此，参与者仍能感受到这份成果的力量，称其 “鲜活”、“永恒”，直觉 “令人敬畏”。

黎曼探讨了空间本质与几何统一性的基础问题。他思索，在一个由离散事物主导的世界中，如何构想连续空间（他以颜色为例）。他的成果没有现代数学论文常见的 “头条定理”，也极少使用符号。他的研究兼具模糊性与哲思。“我们能从中学习什么？” 阿斯温・G 问道，“在变得愈发严谨与公理化的过程中，我们失去了什么？”

文卡特什提到自己与曲率 “漫长而遗憾的纠葛”，这一概念他从未深入理解。而在黎曼的成果中，他发现了现代追求精准高效传递内容的论述所缺失的美感、清晰与丰富性。由于黎曼用自然语言书写，未诉诸技术细节，其成果中的洞见在一个半世纪后依然易于理解。

面向未来的框架

我热切渴望知晓数学的本质。与所有人一样，我对存在的意义满怀兴趣。 —— 诺曼・E・斯廷罗德（ Norman E. Steenrod ）

诺曼・E・斯廷罗德（Norman E. Steenrod，1910 - 1971）

美国代数拓扑学家，同调代数的创始人之一

研讨会涵盖诸多主题与思想者，从开普勒的天球、笛卡尔的几何，到爱因斯坦、马赫、麦克斯韦、维纳关于原子与随机运动的理论。还探讨了数学学院 1933-1955 年教授约翰・冯・诺依曼（John von Neumann）关于大脑的研究，以及研究院 1962-1963、1981-1982 学年成员戴维・芒福德（David Mumford）关于 “随机时代” 的成果。

一些更轻松的研读材料，包括科学作家伊夫林・兰姆挑选的数学普及作品，聚焦于不那么知名的人物，比如业余数学家玛乔丽・赖斯（Marjorie Rice）。她是1970年代的一位家庭主妇，育有五个孩子，因传奇数学科普作家马丁・加德纳在《科学美国人》发表的一篇文章，迷上了平面多边形密铺问题。赖斯发现了大量专业数学家未知的新型密铺方式。在家务间隙，她在厨房台面上开展研究，创造出精巧的自创符号，提炼多边形性质信息，用以整理与分析图形。在她的故事中，研讨会参与者看到了数学精神的动人范例。另请参阅系列报道：

业余数学家玛乔丽・赖斯（ Marjorie Rice ）

图源：Kevin Howdeshell

在一次研讨环节，阿尔玛・施坦加特选取了大萧条时期诺曼・E・斯廷罗德与数学学院 1933-1934 学年成员雷蒙德・L・怀尔德（Raymond L. Wilder）之间的书信集。通信开始时，斯廷罗德 22 岁，正艰难凑钱攻读数学研究生。怀尔德是他在密歇根大学的本科老师。1934年6月，斯廷罗德写信给怀尔德：

“我不喜欢简洁优美的证明。我认为没人会喜欢。它们会彻底误导你。必须彻底熟记才能掌握。但直白、扎实的证明才更有吸引力，也更容易记住。因为这是任何人都会采用的证明思路 —— 而非最优雅的方式。”

这些观点令人意外，因为斯廷罗德后来以代数拓扑领域高度抽象的研究闻名。研讨会参与者研读了他的部分论文，包括1940年代的一篇经典成果，文中他与塞缪尔・艾伦伯格（Samuel Eilenberg）建立了公理化同调理论。

斯廷罗德与怀尔德的书信打动了许多参会者。梅农说：“以他本人的口吻去认识斯廷罗德，看着他从在工具店打工的青涩本科生，逐渐走向成熟，最终成为数学界的杰出人物，真切让我们体会到研读原始文献的重要性。”

有一场环节专门讨论AI人工智能：数学学院2025-2027学年成员康斯坦丁・科格勒（Constantin Kogler）选取了四位数学家使用人工智能工具的最新预印本作为研读材料。其中一篇论文提出了一系列旨在挑战人工智能的问题并报告结果，其他论文则探讨了人工智能独立找到解法或对解法有重大贡献的问题。另请参阅：

激烈而广泛的讨论引出了诸多问题：数学家会转向适合用人工智能解决的问题吗？人工智能会影响甚至取代人类的数学直觉吗？聊天机器人会取代合作者吗？人工智能会设定未来数学的发展方向吗？

这类问题牵动着数学界，尤其是年轻一代成员的心。研讨会并未给出简单答案。但它为数学家提供了退后一步思考学科的机会 —— 回望其起源、源泉与意义，从而为思考未来搭建了框架。

这场研讨会或许不会按照今年的形式继续举办，但梅农与文卡特什正在思考延续其精神的方式。当下的紧迫感尤为强烈。正如梅农所言：“我们正面临一场捍卫学科灵魂的战斗。”

本文发表于《IAS高等研究院通讯》Institute Letter2026年春夏刊

参考资料

https://www.ias.edu/ideas/encountering-roots-mathematics

https://www.ias.edu/publications/institute-letter/institute-letter-springsummer-2026

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