没有读过这本书，很难想象数学能有这么美

在许多人的眼中，数学就是令人头疼的公式运算和繁琐的逻辑推理。其实，它还关于世界背后那些隐秘而优雅的秩序。

数字之间的关系、图形中的对称、规律背后的结构……这些往往都会在不经意间，让人产生一种近乎审美的愉悦。

以数学家约翰·纳什为原型的电影《美丽心灵》。

数学到底美在哪里？这是吴振奎教授在《美妙的数学》中试图回答的问题：当一个复杂问题被还原为简单结构，当一个隐藏的规律突然显现……

或许，你看完其中这些文字和图片之后，会对数学产生一种全新的理解和热爱，会发现它不仅是求解问题的工具，更是欣赏世界的另一种方式。

一、“黄金数”：秩序如何变成美

先来看看大家所熟知的。0.618被达·芬奇称为“黄金数”，而“黄金分割”则被天文学家开普勒赞为几何学中的“两大瑰宝之一”（另一件是“勾股定理”）。

这个看似简单的比例之所以迷人，在于它在不同领域中反复出现，并持续带来一种稳定而和谐的视觉体验。

从古埃及金字塔、雅典帕特农神庙，到泰姬陵、埃菲尔铁塔，许多经典建筑都不同程度地运用了黄金分割；绘画与雕塑中，主题往往落在画面的“0.618位置”；音乐、文学中，高潮段落也常常出现在整体结构的这一比例附近。

巴特农神庙，神庙的长与高之比约为0.618。

在米勒的名画《拾穗者》中，人们发现其构图中运用了黄金分割，它让人物落在最有力量的位置。

甚至人体本身，也隐约呈现出类似的比例关系——从肚脐到全身，从膝盖到下半身。达·芬奇在《维特鲁威人》中，正是将人体与几何图形（圆与正方形）联系起来，其中同样蕴含着黄金比例的思想。

达·芬奇《维特鲁威人》，人的身高是按0.618画的，其他部位也按特定比例标准绘制，比如双手展开的宽度等于身高。

二、对称：世界为何看着和谐

如果说黄金比例体现的是比例之美，那么“对称”则更接近一种结构性的和谐。

从几何中的正多面体，到五角星、圆，再到自然界中的动植物形态，乃至分子结构与晶体排列，对称几乎无处不在。正如数学家卡尔·魏尔斯特拉斯所说：“美和对称紧密相连。”

北京天坛的建筑呈现对称结构。

古希腊人甚至一度相信，世界的基本规律正是源于对称。他们将天体运行轨道理想化为圆形，并“圆上之圆”，试图以最完美的对称来解释宇宙。

开普勒研究天体运行时，再一次用上对称观点。他同时发现，对天体运行规律解释时，将圆换成椭圆就可以了——他是受到希腊人想要把一切东西视为极端对称思想的影响。

开普勒对行星系统结构的解释。

“对称”的概念极为重要。20世纪的研究发现：对称的重要性在与日俱增，这从某个方面也说明了希腊人想法的合理性。

比如在动力学问题中，按照对称观点来考虑可以得到许多重要结论。例如一个氢原子中，一个电子圆形轨道是原子核作用在电子上的库仑力的对称结果和证据。这里“对称”意味着在所有方向上力的大小都一样。

荷兰美术家埃舍尔的“骑士镶嵌图”中，通过多种对称方式叠加，形成一种更复杂的秩序之美。

三、圆：最简单也最完美

诗人但丁曾赞美道：“圆是最美的图形”。

这种偏爱并非偶然。圆既是最简单的封闭曲线，又同时具备轴对称与中心对称，是对称性的极致表达。从古至今，人们对圆有着特殊亲切的情感。古钱币、徽章、某些图案设计中，皆可找到圆。

蜘蛛网上的水滴。

牛顿曾说，数学家偏爱“优美与雅致的证明”。这种审美，在圆身上体现得尤为充分：用最简单的形式，表达最稳定的结构。

古希腊学者阿基米德死于进攻西西里岛的罗马士兵之手。人们为纪念他，便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以纪念他发现“球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的三分之二”这一定理。

传说阿基米德正在全神贯注地画几何图，一名罗马士兵闯了进来，阿基米德疾声喝道“别动我的圆！”士兵用利剑刺杀了他。

此外，把一些重要或知名的数字写成一个圆的螺线形（且由大到小螺旋式顺时针描绘），这种图形常会是令人赏心悦目的。

四、分形：混乱中的另一种秩序

如果说前面的数学之美偏向“规则”，那么分形则让人看到另一种完全不同的美——不规则中的秩序。

长期以来，那些“构造连续但不可微函数”“周长无穷所围面积为零”的曲线，一度被视为数学中的“怪物”。直到芒德布罗提出分形几何，人们才意识到：这些复杂结构，恰恰更接近真实世界。

它与欧氏几何不同，欧氏几何是关于直觉空间形体关系分析的一门学科，它研究的是规则的几何形体。但是，“云彩不是球体、山岭不是锥体、海岸线不是圆周”。

分形图案构成的奇幻世界。

20世纪60年代英国《科学》杂志刊载芒德布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细回味后却会令人大吃一惊：试想，除了能给出如何估算的方法性描述外却无肯定的答案——海岸线长会随着度量标度的变化而变化。

测量海岸线时，人们需先设定一个标度，用其沿岸步测得到近似长度；标度不同，结果也不同，且越精细，测得的长度越大。严格来说，当标度趋近于0时，海岸线长度不会趋向于某个确定值，而是趋向无穷。

海岸线测量示意图。

许多相关的分形会产生漂亮的令人感兴趣的图形，美国著名物理学家惠勒说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”

五、“彭罗斯瓷砖”：用有限来填满无限

数学中“用有限来填满无限”是一个有趣的话题。

20世纪70年代，英国物理学家（也是有时把数学作为娱乐消遣的数学家）彭罗斯发现：用有限几种图形，可以无缝铺满整个平面，但整体却永不重复。

1974年，彭罗斯提出三类“彭罗斯瓷砖”：一类为由同一菱形剪成的风筝形与镖形；一类为边长相同但胖瘦不同的两种菱形（面积比为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形和黄冠形组成。

这种瓷砖的奇妙之处在于：它们中的每一类皆可无重叠又无缝隙地铺满平面，同时铺设结构不具“平移对称性”，也就是说，从整体上看图形不重复。

更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖自身的放大“克隆”。

这类现象提示我们：有限与无限，并不是对立的，而是可以通过结构彼此贯通。

六、莫比乌斯带：边界的消失

再往前一步，数学可以直接挑战我们的直觉。

1858年，德国数学、天文学家莫比乌斯提出了一个看似简单却极具颠覆性的结构：将一条纸带扭转180°后连接，就得到一个仅有一个侧面的曲面——莫比乌斯带。

莫比乌斯带的形成图示：矩形带扭转180°，两端粘起来，得到莫比乌斯带。

在这个结构上，“正面”和“反面”的区分消失了。一只蚂蚁可以不跨越边缘，走遍整个表面；一支笔沿着它移动，也会回到起点。

莫比乌斯环建筑航拍。

这不仅是一个有趣的几何现象，更属于拓扑学中的经典问题。它提醒我们：我们以为牢固的边界，可能只是认知的结果。

数学中1+2+3+…是一种无穷（无穷大），有人认为，数学符号∞（无穷大）正是莫比乌斯带在平面上的投影。

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观点资料来源：《美妙的数学》

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