什么是数学猜想？盘点改变数学历史的著名未解难题与传奇故事

在数学中，猜想（Conjecture）是数学家提出但尚未被证明的命题(Proposition)或结论(conclusion)。这些命题虽然看起来很可能是正确的，但还缺乏严格的数学证明。

一些著名的猜想，如黎曼猜想（Riemann hypothesis）或费马猜想（Fermat's conjecture，现已成为定理，由安德鲁·怀尔斯于1995年证明），对数学史产生了深远影响，它们推动了新数学领域的发展，因为数学家们正是为了证明这些猜想而开辟新的研究方向。

猜想的解决方式 证明：将猜想转变为定理

数学是建立在严格证明基础上的学科。即使有成千上万的例子支持一个猜想，也不足以证明它适用于所有情况。只要找到一个反例，整个猜想就会被推翻。

哥德巴赫猜想就是"每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和"，如果能找到一个不能拆分为两个质数之和的偶数，这个存在了近300年的猜想就会立即坍塌。

有时候，数学期刊会发表研究团队在寻找可能反例方面的进展。比如考拉兹猜想（也称为"3n+1问题"），它关注一个特定的数学规则是否总能把任何正整数最终变为1。研究者已经验证了高达1.2万亿的所有整数都符合这一猜想，但这仍然不是证明——因为该猜想可能在更大的数字中存在反例。

尽管尚未被完全证明，数学家们通常会根据各种证据判断一个猜想的可信度。这些证据可能包括：验证猜想的特殊情况、猜想与已知结果的联系、猜想的各种推论被证实等。

一个猜想只有在被证明逻辑上不可能为假时，才被认为是已被证明。数学证明有多种方法，包括直接证明、反证法、归纳法等。

当可能的反例只有有限数量时，一种称为"暴力法"（brute force）的证明方法是可行的：这种方法会穷尽检查所有可能的情况，证明没有一种情况会产生反例。在某些问题中，可能的情况数量庞大，需要借助计算机算法进行检验。四色定理的证明就是一个著名例子，它在1976年由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯使用计算机完成，并在2005年通过定理证明软件得到最终确认。

当一个猜想被证明后，它就晋升为定理（theorem）。许多数学中的重要定理最初都是猜想，如解决了庞加莱猜想的几何化定理、费马大定理等。

反证：找到猜想的反例

如果找到了反例，猜想就被证明是错误的，这类被推翻的猜想有时被称为假猜想（false conjectures）。著名的例子包括波利亚猜想(Pólya conjecture)和欧拉猜想(Euler's sum of powers conjecture)。

既不能证明也不能反驳的猜想

有些猜想既不能被证明为真，也不能被证明为假，这是因为它们独立于当前的数学公理系统。连续统假设（continuum hypothesis）就是这样一个例子，它试图确定实数集合的基数与自然数集合的基数之间的关系。库尔特·哥德尔和保罗·科恩证明了这个假设既不能从标准集合论（ZFC公理系统）中被证明，也不能被反驳。

这意味着我们可以选择接受或拒绝这个假设作为一个新的公理，两种选择都能产生自洽的数学体系。这类似于欧几里德几何中的平行公设——我们可以接受它（得到欧几里德几何）或拒绝它（得到非欧几里德几何）。

在这种情况下，如果一个证明依赖于这类独立命题，数学家通常会寻找不依赖于这些命题的替代证明。在实践中，选择公理（axiom of choice）是一个例外，大多数数学家会自由使用它，除非他们专门研究公理本身。

有条件证明：基于未证明猜想的理论发展

有些猜想被频繁用作其他结果证明中的假设，此时它们常被称为假设（hypothesis）。黎曼猜想就是一个典型例子，它对素数分布做出预测。虽然尚未被证明，但大多数数论学家都相信它是正确的。

基于这种信心，一些数学家甚至发展了以黎曼猜想为前提的进一步理论和结果。这些被称为条件证明（conditional proofs）：它们的有效性取决于猜想最终被证明为真。

许多关于素数分布的精确结果都以"假设黎曼猜想成立"为前提。这些结果提供了深刻的见解，但如果黎曼猜想最终被证明是错误的，这些结果也将失效。

正因如此，验证这些核心猜想的真假对数学界至关重要。

改变数学历史的重要猜想 费马大定理：从猜想到定理的漫长旅程

在数论中，费马大定理（曾被称为费马猜想）指出：对于任何大于2的整数 ，方程 没有正整数解。

这个定理的故事始于1637年，当时皮埃尔·德·费马在阅读丢番图的《算术》时，在书页边缘写下了这个猜想，并声称自己有一个"精妙的证明"，但页边空白太小无法写下。这个简短的注记引发了长达358年的数学探索。

费马大定理最终于1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯证明。他的证明融合了现代数学的多个前沿领域，涉及代数数论、椭圆曲线和模形式等复杂理论。证明如此深奥，以至于只有少数专家能完全理解。在被证明前，它被《吉尼斯世界纪录》列为"最难数学问题"。

四色定理：第一个使用计算机证明的重要定理

四色定理是关于地图着色的一个经典问题：任何平面地图都可以用四种或更少的颜色着色，使得任何两个共享边界的区域颜色不同。

这个看似简单的问题首次被法兰西斯·古德里在1852年提出，当时他在为英格兰郡地图着色时注意到四种颜色似乎总是足够的。五色定理（五种颜色足够）较容易证明，并在19世纪末被解决，但证明四色足够则困难得多。

四色定理最终在1976年由肯尼思·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯证明，他们的证明使用计算机检查了1,936种不同的地图构形。这是第一个依赖计算机的重要数学定理证明，开创了计算机辅助证明的先河。

这种方法当时引起了争议，因为证明中的计算部分太过庞大，人类无法手动验证。然而，随着计算机科学的发展，这种验证方法逐渐获得了更广泛的接受。2005年，使用定理证明软件对该证明进行了正式验证，进一步确认了结果的正确性。

主猜想：被反驳的重要猜想

主题：主猜想

几何拓扑中的主猜想（德语为Hauptvermutung，意为"主要猜想"）认为任何两个可三角剖分空间的三角剖分都有一个公共细分。这个猜想由施泰尼茨和蒂策在1908年提出，尝试建立拓扑空间的组合表示的唯一性。

有趣的是，这个看似合理的猜想最终被证明是错误的。约翰·米尔诺在1961年使用代数拓扑中的雷杰米斯特挠率/解析挠率（Reidemeister torsion）构造了反例，证明了非流形情况下猜想不成立。

尽管在一般情况下不成立，主猜想在低维流形（维度不超过3）的特殊情况下是正确的。这些结果分别由蒂博尔·拉多（2维情况）和埃德温·莫伊斯（3维情况）在20世纪中期证明。

韦伊猜想：数学深度联系的典范

安德烈·韦伊在1949年提出的猜想关注代数几何与数论的深层联系。具体来说，他研究了计算代数簇在有限域上的点数所导出的生成函数（称为局部ζ函数）。

韦伊猜测这些函数应该满足三个性质：它们是有理函数；满足特定形式的函数方程；其零点位置受到限制（类似于黎曼假设）。这些猜想影响深远，为代数几何与数论之间建立了桥梁。

韦伊猜想的三个部分分别由不同数学家证明：有理性由伯纳德·德沃克（1960年）证明；函数方程由亚历山大·格罗滕迪克（1965年）证明；零点位置限制（即有限域上曲线的黎曼假设类比）由皮埃尔·德利涅（1974年）证明。

▲ 皮埃尔·德利涅(1944年10月3日—)

德利涅因这一突破性工作获得了1978年的菲尔兹奖，展示了解决重要猜想对数学家职业生涯的影响，也凸显了如何通过分解复杂问题逐步接近解决方案。

庞加莱猜想：几何拓扑中的里程碑

庞加莱猜想是由法国数学家亨利·庞加莱在1904年提出的，关于三维空间的基本性质。简单来说，它断言每个"单连通的闭三维流形"都与三维球面同胚（拓扑等价）——它们在拓扑结构上没有本质差别。

这个猜想是拓扑学中最著名的问题之一，也是七个千禧年数学问题之一。它的高维版本（维度大于等于5）在20世纪60年代就已解决，四维情况在1982年解决，但三维情况——也是原始猜想——被证明尤为困难。

经过近一个世纪的努力，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼在2002-2003年发表的三篇论文中最终完成了证明。他的工作基于理查德·汉密尔顿开创的使用里奇流（Ricci flow）的方法，这是一种几何分析中的强大技术。

佩雷尔曼因这一成就被授予菲尔兹奖和千禧年奖金，但他出人意料地拒绝了这两项荣誉，成为数学史上的传奇人物。

黎曼猜想：数学中的"圣杯"

主题：黎曼猜想

黎曼猜想由德国数学家伯恩哈德·黎曼于1859年提出，被许多人认为是当今数学中最重要的未解决问题。它关注黎曼ζ函数（zeta function）的零点位置，具体而言，猜想认为所有非平凡零点的实部均为1/2。

这个看似抽象的问题与素数分布有着深刻联系。如果黎曼猜想成立，我们将获得关于素数分布的精确信息，远超目前所知。正是因为这种联系，黎曼猜想被视为数论研究的核心问题。

黎曼猜想是千禧年七大数学问题之一，克雷数学研究所为其解决方案提供了100万美元奖励。尽管许多优秀数学家努力攻克这个问题，它至今仍未被证明或反驳。

P/NP问题：计算复杂性的核心问题

P/NP问题是计算机科学中的根本问题，简单来说，它询问：是否所有能够快速验证答案正确性的问题也能够被快速解决？

这里的P指"多项式时间可解决"的问题集合，而NP指"多项式时间可验证"的问题集合。问题是：这两个集合是否相同？即P=NP是否成立？大多数专家认为P≠NP，但这尚未被证明。

一个形象的例子是拼图：验证一个完成的拼图是否正确很容易（NP问题），但从零开始解决一个复杂拼图可能非常困难。P=NP问题本质上在问：是否存在某种算法，使得解决拼图和验证拼图一样容易？

这个问题由斯蒂芬·库克在1971年的论文《定理证明程序的复杂性》中正式提出，但早在1956年，库尔特·哥德尔就在给约翰·冯·诺依曼的信中提到了类似问题。

P/NP问题不仅是理论计算机科学的核心，也对密码学、人工智能、优化理论等领域有重大影响。它同样是千禧年七大数学问题之一，解决者将获得100万美元奖励。

其他重要猜想

数学中还有许多其他重要猜想，每个都开辟了新的研究方向：

• 哥德巴赫猜想（Goldbach's conjecture）：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。这可能是数论中最古老的未解决问题之一。

• 孪生素数猜想（Twin prime conjecture）：存在无穷多对相差为2的素数（如3和5，11和13等）。

• 考拉兹猜想（Collatz conjecture）：对任何正整数，重复应用"偶数除以2，奇数乘3加1"的规则，最终会得到1。

• 马宁猜想（Manin conjecture）：关于代数簇上有理点分布的预测。

• 马尔达西那猜想（Maldacena conjecture）：理论物理中的一个重要猜想，关于弦理论和量子场论之间的对应关系。

• 哈代-李特尔伍德猜想（Hardy-Littlewood conjectures）：一对关于素数分布的猜想。有趣的是，已经证明这两个猜想不能同时为真，但尚不知道哪一个是错误的。

• 朗兰兹纲领（Langlands program）：一个雄心勃勃的研究项目，旨在连接数论、表示论和代数几何等数学领域。它包含许多深刻的猜想，其中一些已经被证明。

原内容及图片源自维基百科(Conjecture)，遵循CC BY-SA 4.0协议。 【遇见数学】译制，并补充部分内容/图片

来源：遇见数学

编辑：子木

转载内容仅代表作者观点

不代表中科院物理所立场

如需转载请联系原公众号