32岁拿下菲尔兹奖，喜钻冷门的法尔廷斯如今又斩获阿贝尔奖

挪威当地时间3月19日12时，2026年度阿贝尔奖揭晓。德国马克斯·普朗克数学研究所教授格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）“因在算术几何领域引入强有力的工具，并解决了莫德尔与兰关于丢番图方程的长期悬而未决的猜想”（for introducing powerful tools in arithmetic geometry and resolving long-standing diophantine conjectures of Mordell and Lang.），而获此殊荣。

法尔廷斯最为人熟知的是他29岁时证明了困扰数学界半个多世纪的莫德尔猜想，因而摘取了1986年的菲尔兹奖。后来，他又赢得了莱布尼兹奖和邵逸夫奖等荣誉。

法尔廷斯是算术几何领域的泰斗级人物。他的思想与研究成果重塑了这一领域，在攻克多项长期悬而未决的重大猜想的同时，也建立起了全新的理论框架，指引了随后数十年的学术研究方向。

法尔廷斯获知自己得奖的一幕颇具戏剧性。挪威科学与文学院方面与法尔廷斯的同事合谋，把他“骗”到同事的办公室，然后宣布了这一消息。法尔廷斯的第一反应是“很意外，完全没想到。”然后他立即恢复了老派学者的谦逊和幽默感，说：“我不常和国王一起吃饭（注：阿贝尔奖得主将会出席由挪威王室在王宫举行的庆祝晚宴，并与国王及王室成员共进晚餐），这对我来说很新鲜。我老了，原以为自己早过了拿这类奖的年纪，但现在看来还没过。我猜我得去租件燕尾服了。”

阿贝尔奖与菲尔兹奖、沃尔夫数学奖并称国际数学界“三大奖”。其设立的初衷之一是为了弥补数学界没有诺贝尔奖的遗憾。该奖由挪威政府资助，奖金为750万挪威克朗（约合540万元人民币）。

撰文 | 张和持

从莱茵河畔的繁华都市杜塞尔多夫出发，乘火车往东行驶半小时，就来到了丘陵中的小城伍珀塔尔（Wuppertal）。城市隐藏在山谷之中，旅客可以搭上著名的悬挂列车俯瞰静谧的伍珀河。不过除了这条历史悠久的列车轨道之外，伍珀塔尔似乎再也没有什么名胜能让人驻足。疲倦的游人纷纷回到火车站，启程前往下一个目的地。

小城伍珀塔尔的悬挂火车 | 笔者摄于2023年

让我们避开人流，从火车站往南，经过树林间漫长的阶梯，登上河畔的小山丘。树林的尽头，坐落着伍珀塔尔大学。德国第一位菲尔兹奖得主格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）就是在这里完成了莫德尔猜想（Mordell conjecture）的证明。那一年是1983年，他仅仅 29 岁。3年后，他获得数学领域最高奖项之一“菲尔兹奖”。

法尔廷斯 1954 年出生在德国小城盖尔森基兴（德语：Gelsenkirchen），1972年进入明斯特大学攻读数学与物理。其父母分别拥有物理学和化学博士学位，在此影响下他本人也对物理产生了浓厚的兴趣。不过，大学教育让法尔廷斯开始更倾心于数学，因为绝对的正确性让他不需要关心别人的看法。在代数几何学家汉斯-约阿希姆·纳斯托尔德（Hans-Joachim Nastold）的指导下，法尔廷斯于 1978 年仅24岁便获得数学博士学位，毕业后的 1978 年到 1979 在哈佛大学担任博士后研究员，接着回到明斯特大学担任助理教授，并于 1981 年获得特许任教资格。随后的 1982 年到 1984 年，他前往伍珀塔尔大学担任教授。

法尔廷斯身材修长而清瘦，略有驼背。加上独来独往、沉默寡言的性格，很容易让人敬而远之。他本人却很享受这样自得其乐的生活。

笔者2023年曾在荷兰莱顿召开的一个数学会议上看到法尔廷斯。会后用餐时，与他同坐一桌的一位荷兰教授就只跟他说了一次话，问他德国博士生对导师应该称呼du还是Sie，他回答说Sie。然后荷兰教授就开始跟别人聊天，法尔廷斯再也没有说一句话。

法尔廷斯在荷兰莱顿的学术会议后来到用餐地准备用餐 | 笔者摄于2023年

2015年获得邵逸夫奖后，法尔廷斯接受了采访。面对镜头，他开心地向记者展示自己的红酒收藏，又毫不吝啬地表达对古典音乐的喜爱。当谈到数学时，法尔廷斯说自己喜欢的通常是不那么热门的方向，这样他就不必与别人竞争。面对常人认为遥不可及的问题，法尔廷斯反而感到兴奋。有时问题会很难，以至于只有 10% 的成功几率，但是仍然可以动手去做，这就是法尔廷斯的热情所在。

毫无疑问，莫德尔猜想就是这样困难又值得去做的问题。在伍珀塔尔，法尔廷斯度过了 18 个月与世隔绝的生活，最终完成了猜想的证明。

莫德尔定理与猜想

莫德尔猜想是英国数学家路易斯·莫德尔（Louis J. Mordell）提出的经典问题。莫德尔本人是一名数论学家，他在 1922 年证明了莫德尔定理（Mordell's theorem）：

若E为ℚ上的椭圆曲线，则其有理点E(ℚ)构成有限生成阿贝尔群。

所谓椭圆曲线，是形如y^2=x^3−x或者y^2=x^3+1这样的方程决定的曲线。椭圆曲线上有自然的群结构，而莫德尔定理告诉我们，只需要有限个曲线上的有理点，就可以通过群运算生成出所有的有理点。这个结论不仅仅是纯数学的成就，也被广泛应用于现代密码学。

如果考虑复数点，那么可以把椭圆曲线画成一个环面：

环面只有一个洞，我们说E的亏格为g(E)=1。那对于更多的洞，也就是更高的亏格，会有什么样的结论呢？

莫德尔经过一些计算，在同一年提出了所谓的莫德尔猜想：

若C为ℚ上的代数曲线，且亏格满足g(C)>1，则其有理点C(ℚ)为有限集合。

莫德尔猜想的适用范围非常广泛。例如费马大定理需要证明

x^n+y^n=z^n, n≥3

没有非平凡有理数解（等价于整数解），这个解集也相当于是代数曲线（称为费马曲线）的有理点，而该曲线的亏格为

当n≥4时亏格>1。也就是说，即便费马大定理错了，对于n≥4的每种情况只有可能存在有限个反例。虽然这并不能用于证明费马大定理，但在 1980 年代，莫德尔猜想的证明无疑让数学家们对费马大定理更有信心。

莫德尔猜想→法尔廷斯定理

莫德尔猜想被证明后，就叫做了“法尔廷斯定理”。法尔廷斯面对的挑战要远超莫德尔的想象。莫德尔定理的证明有两个要点：

• 使用高度（Height）这一概念来描述椭圆曲线中的点，对于任意给定的值，只存在有限个点的高度小于这个值。
• 椭圆曲线的挠群（Torsion group），并且证明E(ℚ)/2E(ℚ)为有限群。可以说挠群被用来控制高度。

莫德尔的方法非常富有技巧性，这也意味着很难把同样的概念照搬到更高亏格的情况。对此，法尔廷斯吸收了当时的两项前沿理论：

• 阿拉克洛夫几何（Arakelov geometry）。这是算数概型的理论，法尔廷斯借用其中最简单的情况定义了法尔廷斯高度（Faltings Height）。
• p-可除群（p-divisible group）。某种意义上可以理解为p-幂阶挠群的极限。它代替挠群，用来控制法尔廷斯高度。

即便有了大致的框架，证明也还差了十万八千里。摆在法尔廷斯面前的是两项难题：

• 泰特猜想的阿贝尔簇版本。这涉及到伽罗瓦表示与平展上同调。
• 沙发列维奇猜想。这涉及到对阿贝尔簇的同构类计数。

最终完成的证明完全由德文写成[1]，这篇论文以及法尔廷斯之后的所有工作都被公认为结构化数学写作的典范。

菲尔兹奖之后

完成莫德尔猜想的证明后，法尔廷斯前往普林斯顿大学担任教授，并于 1986 年获得菲尔兹奖。其间带出了迈克尔·拉尔森（Michael J. Larsen）、望月新一等著名数学家。张寿武在普林斯顿期间也曾得到法尔廷斯指导。与此同时，法尔廷斯也在继续推进自己的数学。

在最初的莫德尔猜想证明中，法尔廷斯只用到了非常基础的阿拉克洛夫几何。1991年，数学家保罗·沃伊塔（Paul Alan Vojta）利用丢番图逼近与阿拉克洛夫几何给出了莫德尔猜想的全新证明[2]。不同于法尔廷斯，沃伊塔使用了阿拉克洛夫几何中的整套算数曲面相交论。法尔廷斯读完论文非常高兴，他感到阿拉克洛夫几何前途无限宽广，并在同一年用新的方法证明了莫德尔猜想的一种推广形式。除此之外，法尔廷斯不断推进着阿拉克洛夫几何的方方面面，如今任何一本阿拉克洛夫几何的教科书都离不开他的名字。

对法尔廷斯高度的研究，带来了一个很困难的领域，那就是模空间的紧化（Compactification of moduli space）。阿拉克洛夫几何的研究很大一部分在于算数概型的相交论（Intersection theory of arithmetic scheme），但是相交论只有在紧空间上才有良好的定义。这方面的参考资料寥寥无几，唯一的权威著作便是法尔廷斯和翟敬立合写的[4]。不过这本书存在一些笔误，恐怕往后也很难有机会修正再版了。

p-可除群则是另一个宏大世界的序幕：p-进霍奇理论（p-adic Hodge theory）。法尔廷斯对此也颇有贡献，例如让-马克·方丹（Jean-Marc Fontaine）提出的晶体猜想就是他证明的[5]。不过到了今天，p-进霍奇理论的主角或许应该留给下一代人。

1994年，法尔廷斯回到了德国，担任位于波恩的马克斯·普朗克数学研究所所长，很快波恩就成为了全世界算术代数几何的中心。在此期间，他见证了彼得·舒尔茨（Peter Scholze）这颗冉冉升起的新星。

直到 2018 年退休为止，法尔廷斯一直都很重视教学，他认为授课可以让自己脚踏实地。至于退休后怎么办，虽然没有了正式的工作，但作为数学家，思考的工作可以一直进行下去。

参考文献

[1]: https://link.springer.com/article/10.1007/BF01388432 "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern"

[2]: https://www.jstor.org/stable/2944318 "Siegel‘s Theorem in the Compact Case"

[3]: https://www.jstor.org/stable/2944319 "Diophantine Approximation on Abelian Varieties"

[4]: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-02632-8 "Degeneration of Abelian Varieties"

[5]: https://mathscinet.ams.org/mathscinet/relay-station?mr=1463696 "Crystalline cohomology and p-adic Galois-representations."

[6]: The Shaw Prize in Mathematical Sciences 2015 "https://youtu.be/4KyJ9MXurKU?si=7rm85HlN_GEhgayw"

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