如何解开分式的 “缠绕”——AMS美国数学会专栏

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你可以拿起环面，水平旋转它，就像拧开一罐花生酱的盖子一样……

作者：戴安娜・戴维斯（Diana Davis，菲利普斯埃克塞特学院）2026-3-1

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2026-3-6

百吉饼上的绳子

问题是这样的：你的百吉饼上绕着一个环面纽结，你需要把它解开才能取下来。怎么做才最妥当？简单来说，答案就是欧几里得算法。详细解释的话，这趟旅程会串联起几何、动力系统和群论等优美的数学分支。我们现在就开始吧！

首先，假设有一根绳子绕在百吉饼上。它穿过百吉饼中心的孔洞12次，沿着赤道环绕5次：这就是一个 (12, 5) 环面纽结。我选择12和5这两个数字，是因为5月12日是玛丽亚姆·米尔扎哈尼（Maryam Mirzakhani，伊朗菲尔兹奖得主）的生日。

示意图：一个环面，上面的绳子穿过中心孔洞12次，沿赤道环绕5次

这个(12, 5)环面纽结对应的路径斜率为12/5。我们的目标是把这条路径解开，直到它的斜率变为0。

示意图：箭头指示一次“解绕”操作，最终环面上只留下一圈沿赤道的绳环

答案揭晓

具体方法是：先将百吉饼垂直解绕两次，再水平解绕两次，最后再垂直解绕两次。大功告成！

示意图：箭头展示了多步解绕的完整过程

我们是如何想到这个方法的？这背后又有什么原理？请继续往下看。

我们的工具

1. 欧几里得算法

给定两个正整数，如果你想求它们的最大公约数（Greatest Common Divisor, GCD），最好的方法就是使用欧几里得算法，步骤如下：

1. 用较大的数减去较小的数；

2. 重复上述步骤，直到两个数相等；

3. 此时的数就是最大公约数！

示例：布莱娜·克拉（Bryna Kra）是美国数学会（AMS）上一任主席，她的生日是10月6日。我们来求10和6的最大公约数：

• (10, 6) —— 6更小，用10减6 → (4, 6)

• (4, 6) —— 4更小，用6减4 → (4, 2)

• (4, 2) —— 2更小，用4减2 → (2, 2)

• (2, 2) —— 大功告成！10和6的最大公约数是2。

人们青睐欧几里得算法，因为它快捷高效。很多人会对算法进行优化，一次性减去较小数的所有倍数，但在本文中，我们选择逐次相减。

留给你的思考题：任意给定一个生日（月和日），月数和日数的最大公约数为1的概率是多少？

2. 环面的扭转

我们要用到的“扭转”，是方形环面的自同构映射——这类映射是环面的对称变换，既能保持环面的结构，又能将相邻的点映射到相邻的位置。

旋转就是一种很直观的自同构映射：你可以拿起环面水平旋转（就像拧开花生酱罐子的盖子），也可以穿过孔洞旋转（就像把皱成一团的袜子拉平整套在腿上）。不过，我们要用到的自同构映射不是旋转，而是扭转，扭转分为水平扭转和垂直扭转两种。

我们先来看垂直扭转：

1. 用一个竖直平面把环面切开，就像把一个美味的甜甜圈切开，准备和朋友分享；

2. 固定住其中一侧，抓住另一侧，将其完整扭转一圈；

3. 最后把切开的两端重新粘在一起。（哎呀！看来你最终还是没舍得和朋友分享。）

恰好扭转一整圈时，相邻的点会完美地重新贴合，和扭转前的状态完全一致，因此这是一种环面的自同构映射。

示意图：一个甜甜圈被竖直平面切开，箭头指示扭转的方向

垂直扭转对环面纽结有什么影响？以本文的例子来说，它会把 (12, 5) 纽结 变成 (7, 5) 纽结。

示意图：垂直解绕一个纽结的过程

需要注意的是，扭转方向是可以相反的——反向扭转不会简化路径，反而会让它变得更复杂，比如会把(12, 5)纽结变成(17, 5)纽结。

示意图：垂直反向扭转导致纽结更复杂

命题：若p > q，上述简化性垂直扭转操作，会将 (p, q) 环面纽结转化为 (p-q, q) 环面纽结。

证明：(p, q)环面纽结原本穿过孔洞p次。当你切开环面时，切口处会有q个绳结交点。每进行一次垂直解绕，每个交点都会“退出”一次孔洞穿越，因此最终路径穿过孔洞的次数变为p-q。由于扭转仅在垂直方向进行，沿赤道环绕的次数q保持不变。

接下来我们看水平扭转：

1. 用一把锋利的刀沿着环面的赤道切开，就像你准备把百吉饼切成两半抹奶油芝士，但又还没下定决心；

2. 固定住下半部分，抓住上半部分，像拧花生酱瓶盖一样将其扭转；

3. 把上半部分完整扭转一圈后，再将两部分粘回去。（算了，今天还是不吃奶油芝士了。）

和垂直扭转同理，恰好扭转一整圈能保证相邻点完美贴合，因此这也是一种自同构映射。

示意图：水平切开纽结，再进行扭转的过程

水平扭转对环面纽结的影响是什么？它会把 (2, 5) 纽结 变成 (2, 3) 纽结。

示意图：通过水平扭转简化纽结的过程

同样需要注意，反向水平扭转会让路径更复杂，比如把(2, 5)纽结变成(7, 5)纽结。

示意图：水平反向扭转导致纽结更复杂

命题：若p < q，上述简化性水平扭转操作，会将 (p, q) 环面纽结 转化为 (p, q-p) 环面纽结。

证明：与前述垂直扭转的证明类似，只需将垂直和水平的作用互换即可。

让分式变得更简单

现在我们来揭示环面扭转与欧几里得算法的关联。我们从 (12, 5) 环面纽结 开始：

1. 因为12 > 5，我们进行垂直扭转，将(12, 5)纽结转化为(7, 5)纽结；

2. 此时仍然满足 7 > 5，再次进行垂直扭转，将(7, 5)纽结转化为(2, 5)纽结；

3. 现在 2 < 5，我们切换为水平扭转，将(2, 5)纽结转化为(2, 3)纽结；

4. 仍然满足 2 < 3，继续进行水平扭转，将(2, 3)纽结转化为(2, 1)纽结；

5. 此时 2 > 1，我们连续进行两次垂直扭转，依次将(2, 1)纽结转化为(1, 1)纽结，最终得到(0, 1)纽结。

大功告成！这就是我们梦寐以求的赤道绳环。至此，我们成功将复杂的(12, 5)环面纽结，解绕成了最简单、最“朴素”的赤道路径。值得骄傲！

反向操作：构造复杂纽结

假设你想给英格丽·多贝西（Ingrid Daubechies）准备一份别致的礼物。她的生日是8月17日，所以你决定送她一个绕着(17, 8)环面纽结的环面。现在你手上只有一个带着朴素赤道绳环的环面，需要通过哪些扭转操作，才能得到想要的纽结呢？

我们可以先用欧几里得算法拆解(17, 8)：

(17, 8) x→V (9, 8) x→V (1, 8) x→H (1, 7) x→H (1, 6) x→H ⋯ x→H (1, 1) x→V (0, 1)

注：箭头标注V代表垂直扭转，标注H代表水平扭转。

从上述过程可以看出，要把(17, 8)纽结简化为(0, 1)赤道绳环，需要依次执行的变换为：VVHHHHHHHV = V²H⁷V。

因此，要反向操作——把赤道绳环扭转成英格丽·多贝西生日对应的(17, 8)纽结，我们需要逆序执行上述变换，即：VH⁷V²。

（注：简化纽结时，我们用的是“解绕”方向；构造纽结时，我们用的是每个自同构映射的“扭转”方向。）

我们来实际操作一下！

示意图：一系列扭转操作的动态演示，展示赤道绳环如何逐步变成复杂的纽结

英格丽·多贝西，生日快乐！

动手制作你专属的纽结

你最近有朋友要过生日吗？想给那个特别的人准备一份独一无二的礼物？本文所有示意图都是用Desmos 3D函数制作的，点击链接即可使用同款工具：https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

延伸数学阅读

本文的核心思想，来自我最近与美国数学会（AMS）合作出版的一本问题导向型著作——《台球、曲面与几何》

Billiards, Surfaces, and Geometry

这本书的前两章构建了一套“大一统理论”，将方形台球桌上的台球轨迹、台球撞击桌边的顺序列表、环面的自同构映射，以及连分数这几个概念串联起来。本文探讨的环面纽结与欧几里得算法的关联，正是这套宏大理论的一部分。如果你喜欢本文的内容，不妨读一读这本书，探索更多精彩内容，还能亲自参与到问题的推导中。

参考资料

https://mathvoices.ams.org/featurecolumn/2026/03/01/how-to-untwist-your-fractions/

https://www.desmos.com/3d/edfuibmas4

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