《人类科学技术史-210》解析几何

解析几何

解析几何亦称坐标几何，它采用代数的记号和方法来表示并解决几何学中的问题，建立了几何曲线和代数方程之间的对应，从而使几何和代数的方法和知识可以一起用来解决几何或代数中的问题。

古代巴比伦、埃及和希腊、罗马的一些数学家，已经知道图形的几何与数的代数之间的某些对应，但那时的代数的记号和方法尚处于比较原始的状态，那时的数学家也还处于对现实世界的完全依赖和附属的状态，因此，建立几何与代数之间的对应的工作受到了限制。

直到17世纪初期，由于代数学渐趋完善并日益成为研究自然科学的重要工具和手段，解析几何的发展出现了一个突进。

1.笛卡尔的《几何学》

1637年，笛卡尔的《几何学》作为其《方法谈》一书的附录而问世。《几何学》的第一和第二部分论述解析几何，第三部分论述方程理论。

笛卡尔把代数思想和记法引进了几何学。他用字母标示直线段，通常用a，b，c……标示已知的或变化的线段，用x，y，z标示未知的或变化的线段，构成了字母或字母组合的乘积和幂，采用了至今还使用的那种书写指数的系统。他使用分析法来解几何问题。这种方法假定问题已经解出，然后写出在作图中涉及到的各种直线的长度之间必定成立的全部隐关系，每一个关系都由一个方程表示，因而该问题的解便归结为所有这些联立方程的解。

笛卡尔的解析几何学的基本概念，是二维平面上的点与有序实数偶之间的对应，获得这种对应的办法，是使平面上两条相交直线与点一起成为一个坐标系。在这个平面直角坐标系中，每个点有一个以有序实数偶(X，Y)为标志的唯一表示，反之，每个有序实数偶表示一个唯一的几何点。在建立起点与有序实数偶之间的这种对应之后，几何曲线与代数方程之间的关系便十分清楚。例如，给定一个简单的线性方程，就有与它相对应的几何曲线，这条曲线由平面上所有的其坐标(x，y)满足这个方程的点所构成。相反，给定了一条几何曲线，也就有与它相对应的代数方程，使其所有点的坐标满足这个方程。

2.费马的创见

与笛卡尔同时代的法国数学家费马(1601-1665年）也独立地发明了把代数应用于几何问题的方法，提出了用可以导出曲线特征性质的方程来表示曲线的思想。

费马的职业是律师，曾担任图卢兹议会的顾问，数学是他的业余爱好。在研究古代几何学的基础上，他发现，如果通过坐标系把代数运用于几何，将使轨迹的研究更易于进行。在《平面和立体的轨迹引论》这部著作中，费马提出，使两条直线彼此成一定角度，最好是直角，将其交点作为原点，使离原点的距离分别同方程的两个变元成正比，就能方便地表示出方程。在他的著作中，还第一次出现了表示一条通过原点的直线的方程。他还用自己的符号写出了抛物线方程和等轴双曲线方程。

费马也是最早发现极大值和极小值问题的一般解法的数学家之一，并因此而对从解析几何向微积分的过渡产生了推动作用。费马生前发表的研究成果甚少，他的大部分著作和学术通信都是在他逝世后才出版的，上述《轨迹引论》就是在1679年问世的。

3.德扎尔格的方法

当笛卡尔和费马发现解析几何学的基本原理时，另一个法国数学家德扎尔格(1591-1661年）也提出了一些对几何学日后发展具有重要意义的概念。

德扎尔格生于里昂，是一个职业建筑师，曾作为军事工程师在军队中服务，后来担任过枢机主教黎塞留和法国政府的技术顾问。他在1628年与笛卡尔相识，随后成为巴黎一个数学家组织的成员。他最主要的著作是《试论锥面与平面相截的结果的初稿》，1639年出版于巴黎。他在对圆锥曲线的研究中，引入了射影几何学的主要概念。他用一个平面以不同方式截割锥面或柱面，得到了各种类型的圆锥曲线，并且提出了根据锥面底部的圆的几何性质推导出圆锥曲线的几何性质的方法。

德扎尔格的这一创新对帕斯卡产生了重要影响，受到其赞赏并被进一步应用。但在他们两人都辞世之后，德扎尔格的方法很快遭到冷落。直至19世纪中叶射影几何学重新引起人们的兴趣之时，德扎尔格的思想的重要意义，才获得普遍的承认，并成为迅速发展起来的射影几何学的基础。