方东榆：当空间被无数个孔填满——费曼路径积分的直观推导

导语

从量子力学课堂上耳熟能详的双缝实验出发，本文借一个广为流传的“费曼式追问”层层推进：从对两条路径振幅的相加，到多孔、多屏，再到把空间视为被无限细分的极限过程，最终引出“对所有路径求和”的费曼路径积分表述。通过这种由离散走向连续的直觉图景，路径积分不再只是形式主义中的抽象公式，而是量子叠加原理在时空中的自然延伸，并与时间演化算符、传播子以及统计物理中的配分函数建立起清晰联系。

依托集智俱乐部这一跨学科交流平台，我们设立了“跨学科集智创新基金”，在全华语范围内寻找合适的授课人选，最终邀请到新加坡国立大学 Research Fellow 贾治安老师。他扎实的物理学功底与丰富的跨学科研究经验，使其尤为适合为量子场论初学者讲清基础概念，并提炼可迁移的方法论。基于此，集智学园联合贾治安老师，共同打造了这门重磅课程——《》，旨在帮助复杂系统与跨学科领域的学习者、研究者，系统掌握量子场论的核心概念、基本方法，以及其在高能物理与凝聚态物理中的典型应用。同时，针对集智社区鲜明的跨学科背景，课程还将进一步讨论量子场论的前沿与交叉主题，如量子反常、拓扑场论与广义对称性，并探索量子场论在神经网络、量子计算等方向的潜在应用，帮助学习者拓展学术视野，建立更具整体性的理论理解。

关键词：双缝实验、叠加原理、路径积分、时间演化算符、量子场论、跨学科研究、统计物理

方东榆丨作者

贾治安丨审校

王朝会丨编辑

作者简介

一个“物理学课堂传说”

很久以前，一门量子力学课上，教授照例讲双缝实验：在时刻 t=0，粒子从源 S发射，穿过屏幕上两个孔（ A1 或 A2）之一，在时刻 t=T 被位于O的探测器探测到。

在标准讲法里，探测到的“概率”不是直接相加，而是先加“振幅”。根据量子力学的叠加原理，到达 O 的总振幅等于两条可能过程的振幅之和：

• 从 S经 A1 到的振幅

• 从 S 经 A2 到的振幅

这就是双缝干涉的数学核心：不同路径对应的振幅会相加，从而产生干涉。

这一点讲完后，故事的主角出现了——一个很聪明的学生（我们就叫他“费曼”）。

从“双缝”到“多缝”

费曼问：“教授，如果我在屏幕上再钻第三个孔呢？”

教授回答：“那就把三条过程的振幅相加。”

费曼又问：“如果我再钻第四个、第五个孔呢？”

教授终于有点不耐烦：“好吧，聪明人。全班都看得出来：我们就是把所有孔的振幅都加起来。”

为了把这句话说得更精确，我们记粒子从 S 出发，经由第 i 个孔 Ai，再到达 O 的振幅为A(S → Ai → O)。

那么探测器在O处测到粒子的总振幅就是A(detected at O) = Σi A(S → Ai → O)

这一步的意义很简单：孔从 2 个变成很多个，只是把“相加的项”从两项变成多项，本质仍是叠加原理。

但费曼还没停。

求和从“单屏”到“多屏”

费曼继续追问：“如果我们再加一块屏，上面也钻一些孔呢？”

教授更烦了，说：“你看不出来吗？你只需要把过程拆成三段：

从源 S 到第一块屏的孔 Ai 再到第二块屏的孔 Bi ，再到探测器 O，然后对所有 i 和 j 求和就行了。”

也就是说，“一块屏多孔”对应的是对 i 求和；“两块屏多孔”对应对 i,j 做二重求和。叠加原理仍然没有变，只是中间可选节点更多了。

到这里，费曼的问题开始逼近关键点。

当所有屏幕“钻满孔”会变成什么？

费曼继续纠缠：“那我再放第三块屏、第四块屏呢？如果我放一块屏，然后在上面钻无穷多个孔，使得这块屏等于不存在，那会怎样？”

教授不耐烦了：“我们往下讲吧，这门课要讲的内容还很多……”

这个故事里教授选择“跳过”，但聪明的读者朋友，你一定已经看出来费曼想干什么了。尤其妙的是那句话：在一块屏上钻出无穷多个孔，屏就等于不存在。

这句话把问题从“离散的孔”推向“连续的空间”：即使 S 到 O 之间什么都没有（只是空间），仍可以把传播理解为一种极限过程——好像空间被无穷多块屏“填满”，每块屏又被无穷多个孔“打穿”。于是粒子从 S 到 O 的振幅就变成：

不是挑一条路，而是把所有可能路径的贡献都加起来。

A(粒子在时间 T 内从 S 到 O) = Σ_paths A(粒子沿某条特定路径从 S 到 O)

这就是路径积分的直觉起点：从“对孔求和”升级为“对路径求和”。

“对所有路径求和”怎么定义？

到这一步，严谨的人会自然紧张：你说“对所有路径求和”，但“路径”是无限多、连续变化的对象，这个“求和”到底怎么定义？

费曼（以及更早的狄拉克思路）采取的策略很经典：先离散化，再取极限。

做法是：

1. 取一条连续路径，用很多段直线去逼近它。

2. 让直线段越来越短、段数越来越多，使逼近趋于精确（段长趋于零）。

你会发现，这和“放很多块屏、屏间距无限小；每块屏上孔无限多”是一回事。它把“对路径的求和”变成了“对很多中间点的积分/求和”，最后再取极限。

一条路径的振幅怎么计算：

用幺正性把小段乘起来

即使“路径的集合”被离散化了，还有一个关键问题：

沿某条特定路径传播的振幅 A(…) 怎么构造？

这里用到量子力学的一个结构：时间演化是幺正的。直观地说，如果你知道粒子在每个无穷小时间步（或无穷小空间段）上的传播振幅，那么一整段路径的振幅可以通过把这些“无穷小段的振幅”连续相乘得到。

也就是说：

• 把一条连续路径切成无穷多小段

• 每小段有一个传播振幅

• 整条路径的振幅就是这些小段振幅的乘积

最后再对“所有可能路径”求和（在极限意义下变成泛函积分），就得到路径积分形式主义的核心表达。

Dirac 的表述：

从时间演化算符到“对路径求和”

前面的故事给出了路径积分的直觉：把所有可能路径的振幅加起来。费曼的路径积分不仅重构了量子力学，更成为了现代量子场论（QFT）的两大基石之一。在集智学园最新推出的贾治安的《》中，将在第4讲专门深入探讨“量子力学的路径积分表述及在复杂系统中的应用”，包括路径积分的基本思想与计算技巧，传播子的物理意义，为场论的路径积分量子化建立基础。

要让它成为可计算的理论，还需要一个更硬的起点。据说计算方法是Dirac先想出来的。他把“振幅”和“作用量”之间的关系提了出来，并且这关系可以从量子力学最标准的时间演化形式出发系统推导。

（1）传播振幅的起点：时间演化算符

在量子力学里，粒子从初始位置 qI 在时间 T 后到达末位置 qF 的传播振幅（传播子）写成

这里 H 是哈密顿量。这个式子几乎可以视作“量子力学演化”的定义。

这一点很重要：路径积分不是另外一套物理假设，它是同一个时间演化算符的另一种展开方式。

（2）时间切片：把 T切成很多个很小的步长

把总时间 T 切成 N 段，每段 ϵ=T/N

于是 ，接着在每两个短时间演化之间插入一次“完备性关系”（单位算符），用位置本征态写就是 。

这样做的结果是：传播子被写成对所有中间位置的多重积分；每一小段只涉及一个“短时间传播核”：

其中 q0=qI, qN=qF。这就是实现把一条路径积分起来、把所有路径加起来的过程：把一条连续路径变成许多小线段的极限；而“对所有路径求和”变成了“对所有中间点积分”。

（3）计算无穷小的时间核

接下来关键是计算短时间振幅 的形式。做法是：在坐标表象里插入动量完备性 , 并利用短时间近似（ϵ很小）把指数展开到合适阶。对于一般的哈密顿量 , 振幅会变成这个样子。在计算的过程中，哈密顿量会自然变形为拉格朗日量，最终指数里出现的是作用量 。

（4）与统计物理的关联

在大多数情况下，我们关心的是把初态 |I〉与末态 |F〉 都取成基态 |0〉。按惯例，我们把真空到真空的演化振幅记为 Z：。

实时间路径积分之所以“可用”，主要依赖不同路径带来的快速振荡相位在求和时相互抵消，从而在物理意义上起到“收敛”的作用；更为严格的处理是进行所谓的 Wick 旋转，把时间变换到 Euclidean（虚）时间 Τ。这相当于作代换 t=-iΤ（并在复 t 平面上旋转积分路径），使权重从振荡的 exp(iS/ћ) 变为指数衰减的 exp(-SE/ћ)，从而得到 Euclidean 路径积分，这种形式与统计物理的玻尔兹曼权重 exp(-βE) 在结构上完全一致：Euclidean 作用量 SE 扮演“能量泛函”的角色，因此路径积分变成对所有配置的加权求和。

更进一步，在有限温度量子统计中，配分函数 Z(β)=Tre-βH也可写成 Euclidean 路径积分，其关键在于“取迹”对应 Euclidean 时间方向的周期化：对玻色自由度满足 q(β)=q(0) （费米自由度满足反周期边界条 ψ(β)=-ψ(0)），于是 β 直接等同于 Euclidean 时间圆周的长度。这样一来，量子场论在虚时间下的计算形式，会变得非常像统计物理里计算配分函数的方式。

到这里，我们其实完成了一次很朴素的“极限过渡”：从双缝的两条可能过程出发，逐步把“对离散选项求和”推到“对连续路径求和”。技术上，它并没有另起炉灶，仍从最标准的时间演化算符出发；直觉上，它只是把空间想象成被越来越密的“中间位置”填满，再把这些中间位置的贡献在极限意义下叠加起来。这样，路径积分既保留了量子叠加的核心，也提供了一种把量子动力学写成“权重求和”的表达方式。

同时也应当看到，“对所有路径求和”这句话之所以能落地，依赖一套明确的规则：离散化、短时传播子的近似计算，以及在需要时通过 Wick 旋转把振荡权重变成更稳定的 Euclidean 权重。正因为这些步骤把形式主义变成了可操作的计算框架，路径积分才能自然连接到传播子、真空振幅 Z，并进一步与统计物理的配分函数结构对应起来。接下来若要继续深入，关键问题就会从“它是什么”转向“怎么用”：在具体体系里如何选取合适的近似、如何处理相互作用项，以及在场论中如何理解测度、算符排序与重整化等更细的技术环节。这些将在贾治安的《量子场论十二讲》中具体展开。

参考文献：

Zee, A. (2010).

Quantum field theory in a nutshell

贾治安的量子场论十二讲

旨在通过12 次课帮助学生系统掌握量子场论的核心结构，包括自由场、相互作用场、正则量子化、路径积分量子化、费曼图、重整化与规范理论等内容。课程结束后，学生应能够理解量子场论的基础内容，以及它在在高能物理和凝聚态物理中的典型应用，具备阅读基础文献、进行公式推导以及独立完成计算的能力。同时，课程还将简要介绍量子场论的前沿主题，如量子反常、拓扑场论和广义对称性，以及一些跨学科主题，比如量子场论在神经网络、量子计算等方向的应用，以此拓展学生的学术视野。

课程详情可见：

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